Школьная олимпиадная задача с числами на гранях кубика

[Ivan 09]

Здравствуйте.
На гранях кубика в произвольном порядке написаны числа от $1$ до $6$. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырех боковых гранях оказалась равна $16$, во второй $13$. Какое число написано на грани, противоположной той, где написана цифра $5$.
мое решение.
у нас два варианта при первом броске $16= 6+5+4+1$ или $16=6+5+3+2$
так же два варианта при втором броске $13=6+4+1+2$ или $13=5+4+3+1$
Достаточно ли таких рассуждений. При втором броске в обоих случаях остается $4$ и $1$. Значит они расположены напротив друг друга. А отсюда при сумме $13$ следует что $6$ напротив $2$. А пятерка напротив тройки

[EUgeneUS]

Ivan 09 в сообщении #1413637 писал(а):

Достаточно ли таких рассуждений. При втором броске в обоих случаях остается $4$ и $1$. Значит они расположены напротив друг друга.

Не достаточно.
"Два варианта при втором броске" - это могут быть два разных кубика. А не два броска одного и того же кубика.
И Вы никак не используете информацию о первом броске.

[Ivan 09]

EUgeneUS
спасибо, я уже когда написал и ещё раз посмотрел, понял, что ошибся.
Вроде разобрался, но выставляю на проверку.
из сумм сразу видно $6$ и $5$ рядом, а не напротив друг друга. Через тире обозначим противоположные цифры.
1 вариант $6-1$ Тогда из суммы $13$ имеем $4-2$ , а этого не может быть, потому что есть при сумме $16$ у нас либо $4$ , либо $2$.
2 вариант $6-4$. Тогда из суммы $16$ имеем $5-1$ , а этого не может быть, потому что есть при сумме $13$ не может одновременно быть на гранях $6,4,1$ без $5$ или $4$ без $6$
3 вариант $6-3$.Тогда из суммы $16$ имеем $ 5-2$ , а этого не может быть, потому что есть при сумме $13$ у нас либо $2$ , либо $5$, не но вместе $5$ и $2$.
4 вариант Тогда методом исключения из первой суммы $6-2$. а отсюда $5-3$

[EUgeneUS]

Ivan 09 в сообщении #1413735 писал(а):

из сумм сразу видно $6$ и $5$ рядом, а не напротив друг друга.

из вариантов для суммы $13$, да, видно.
Сейчас "дырок" не нашел. Поэтому скажу свой вариант решения, имхо, как-то меньше переборов.

1. Назовем наборы чисел на боковых гранях совместимыми, если они могут реализоваться на одном и том же кубике.
2. Наборы совместимы тогда и только тогда, когда различаются ровно на два числа (два числа одинаковые, два - разные).
3. Сразу видим, что первый набор для суммы $16$ не совместим ни с одним набором для суммы $13$.
4. А значит реализовался второй вариант для суммы $16$, отсюда сразу $1-4$.
5. Наборы для суммы $13$ совместимы друг с другом (upd: и что важно, оба совместимы с оставшимся набором для $16$, нужно проверять оба варианта), убеждаемся, что каждый из них дает одно и то же решение.

[Ivan 09]

EUgeneUS
Спасибо, разобрался с Вашим решением, оно и в самом деле проще.

[ET]

Не понял, зачем все так сложно?
1. на 4х боковых сумма стала 16 следовательно Сумма на верхней и нижней =5
2. На 4х боковых сумма=13 . Следовательно сумма на верхней и нижней=8
На третьей паре противоположных сумма равна $21-5-8=8$
Понятно, что пятерка не может быть на той паре, у которой сумма с противоположным равна 5. А следоватльно пятерка в одной из тех пар, у которых сумма с противоположным равна 8

[wrest]

ET в сообщении #1413761 писал(а):

Не понял, зачем все так сложно?
1. на 4х боковых сумма стала 16 следовательно Сумма на верхней и нижней =5
2. На 4х боковых сумма=13 . Следовательно сумма на верхней и нижней=8

Действительно, назовём парой противоположные цифры. Из первого следует что у кубика есть пара 1+4 или 2+3, а из второго, что есть пара 2+6 или 3+5, но поскольку удовлетворяться первое и второе должно одновременно, значит пары это (1+4 и 2+6) или (1+4 и 3+5), и в обоих случая все три пары это 1+4, 2+6, 3+5.

[Ivan 09]

ET
Мне очень понравилось Ваше решение. Спасибо!
wrest
Ваше рассуждение тоже понравилось. Благодарю!