Найти уровни энергии в системе с двумя электронами

[Goroshek]

Буду очень рад любой помощи и любым ссылкам на решение и разбор подобных задач. Условие:
Имеем четыре ячейки: 1,2,3,4. Электрон может "садиться" в каждую из ячеек, в одну ячейку нельзя посадить больше одного электрона. Дано, что матричный элемент гамильтониана, соответствующий переходу электрона из ячейки в соседнюю, равен $\delta$, то есть элементы типа $ \langle 1 | \hat{H} | 2 \rangle = \delta $, а диагональные элементы типа $ \langle 1 | \hat{H} | 1 \rangle = 0 $. Нужно найти уровни энергии системы, соответствующие им собственные функции и проанализировать, что будет, если электроны в этой задаче заменить на частицы без спина.
Мои подвижки в этой задаче: не зная, как учесть спин, я не учел его никак, определил пространство состояний вида: $11, 12, ... 44 $, допустил, что мой гамильтониан имеет размеры 16 на 16 и вид: 0 на диагонали и $\delta$ на всех других позициях. При этом мне удалось подсчитать собственные числа этой матрицы (для матрицы произвольного размера $i$ получилось, что собственные числа это $(i-1)\delta$ и $-\delta$ кратности $i-1$. Но это "решение" "не различает" фермионы и бозоны в системе и пространство состояний включает в себя нереализуемые $11$ и подобные, где два электрона предполагаются всё-таки запихнутыми в одну ячейку. Пространство состояний я переработал, оно состоит из 24 элементов и имеет вид ($\pm$ отвечает направлению спина):
$\vline \pm \pm 0 0\rangle, \quad \vline \pm 0 \pm 0\rangle , ... , \vline 0 0 \pm \pm \rangle$
Но вот как записать гамильтониан в этом пространстве и как найти его спектр я совсем потерялся.

[StaticZero]

Goroshek, вдруг поможет

[madschumacher]

Поскольку у Вас ограничено условие тем, что в каждой ячейке может быть только один электрон, Ваше пространство состояний будет иметь вид
$| a@1\rangle |b@2\rangle |c@3\rangle |d@4\rangle$, где $(a,b,c,d)=(1,2,3,4)$ -- перестановки номеров электронов (т.е. электрон #a в 1й ячейке, #b во второй и т.д.). Всего вариантов расположения электронов у Вас $4! = 24$ штуки, спин нигде у Вас явно не участвует. Но! волновая функция должна подчиняться принципу Паули, т.е. иметь вид:
$|\psi\rangle \propto \sum_{\text{по чётным перестановкам}} | a@1\rangle |b@2\rangle |c@3\rangle |d@4\rangle - \sum_{\text{по нечётным перестановкам}} | a@1\rangle |b@2\rangle |c@3\rangle |d@4\rangle $, т.е. чисто из симметрии Вам волновая функция уже известна. Остаётся только найти её энергию $\langle \psi|\hat{H} | \psi\rangle / \langle \psi | \psi\rangle$.

Упс, я не заметил в сообщении, что электронов 2 штуки. Но суть это не меняет, просто вместо 24 состояний, у Вас будет $C_4^2 \cdot 2= 12$ штук.

[madschumacher]

Что-то я подумал, и задача решается чууууть сложнее (точнее, полносимметричное решение не единственно возможное).
Короче, возьмите в качестве базисных функций комбинации $| ab\rangle = (|1@a\rangle |2@b\rangle-|2@a\rangle |1@b\rangle)/\sqrt{2}$, диагонализуйте полученную матрицу гамильтониана 6×6
(базис остаётся ортогональным), и будет счастье Вам!

Нижнее по энергии состояние будет то, что получили бы по схеме выше, но ещё получите другие возможные варианты.

[Munin]

madschumacher в сообщении #1413696 писал(а):

Поскольку у Вас ограничено условие тем, что в каждой ячейке может быть только один электрон

Напоминаю, что надо накладывать не это условие, а условие антисимметричности в.ф. по перестановке электронов. Это разные условия, антисимметричность - более сильное (в примере из той темы, оно ограничило размерность не до 2, а до 1).

Советую madschumacher разобраться с этим нюансом, ему он, возможно, тоже пригодится.

[madschumacher]

Munin в сообщении #1413748 писал(а):

Напоминаю, что надо накладывать не это условие, а условие антисимметричности в.ф. по перестановке электронов.

Если Вы не заметили, именно об этом я и написал, причём во всех подробностях.
Условие 1 электрон - - 1 ячейка просто сужает пространство состояний.

[Munin]

Если не добавлять антисимметричности, то сужает недостаточно. А если добавлять антисимметричность - то не сужает. Антисимметризация автоматически обеспечивает это условие.

[arseniiv]

Да по-моему условие задачи вообще не очень доработано. Например упоминаются соседние ячейки, но не упоминается, какие же из них друг с другом соседние, а какие нет. Или это какое-то соглашение в подобных задачах, о котором я не в курсе.

Хотя это требование надо будет накладывать само по себе для другой системы, с которой предлагается сравнить:

Goroshek в сообщении #1413683 писал(а):

проанализировать, что будет, если электроны в этой задаче заменить на частицы без спина

[madschumacher]

Munin в сообщении #1413774 писал(а):

Если не добавлять антисимметричности, то сужает недостаточно.

А что, кто-то его не добавил?!

Munin в сообщении #1413774 писал(а):

Антисимметризация автоматически обеспечивает это условие.

А какой смысл лезть с более сложным условием в бой, если не учтено очевидное? Проще же асимметризовать базис меньшей размерности, как минимум по числу операций.
Тем более, что у одной ячейки может быть вполне несколько возможных уровней, тогда на неё может влезть более одного электрона, и условие "на одной ячейке может быть только один электрон" можно интерпретировать как бесконечно большое межэлектронное отталкивание в одной ячейке. Учитывая, что в условии задачи (предположительно) двухэлектронный гамильтониан $\hat{H}$ в интеграле по одноэлектронному состоянию даёт число, а не одноэлектронный оператор, то ожидать можно каких угодно недосказанностей. Как заметил arseniiv, условие задачи -- говно плохо попахивает.

[Munin]

madschumacher в сообщении #1413827 писал(а):

Проще же асимметризовать базис меньшей размерности

Не понял, это какой? Одноэлектронный? Антисимметризовать по перестановкам двух электронов? Ну-ну. Покажите, как вы это делаете.

[madschumacher]

Munin в сообщении #1413844 писал(а):

Не понял, это какой? Одноэлектронный? Антисимметризовать по перестановкам двух электронов?

Я не понимаю почему Вы приписываете мне то, что я даже отдаленно не писал, выставляя меня идиотом (что, конечно, так, но не в этом случае), вместо того, чтобы просто прочитать, что я на этот повод писал.
В частности:

madschumacher в сообщении #1413696 писал(а):

Ваше пространство состояний будет иметь вид
$| a@1\rangle |b@2\rangle |c@3\rangle |d@4\rangle$, где $(a,b,c,d)=(1,2,3,4)$ -- перестановки номеров электронов (т.е. электрон #a в 1й ячейке, #b во второй и т.д.).

Т.е. многоэлектронным базисом у меня было произведение одноэлектронных состояний.

А Ваш стиль дискуссии сейчас напоминает демагогический приём "построй чучело оппонента и сожги его".

[Munin]

То есть, теперь у вас 4 электрона?

[madschumacher]

Munin в сообщении #1413876 писал(а):

То есть, теперь у вас 4 электрона?

Вы продолжаете игнорировать чтение? В конце того же сообщения:

madschumacher в сообщении #1413696 писал(а):

Упс, я не заметил в сообщении, что электронов 2 штуки. Но суть это не меняет, просто вместо 24 состояний, у Вас будет $C_4^2 \cdot 2= 12$ штук.

[Munin]

Послушайте, перечислите ваши состояния, тогда понятней будет.

[madschumacher]

В формате q@a, подразумевая $|q @ a\rangle$, где q = 1,2 -- номер электрона, а a -- номер ямы, для системы из 3х ячеек (для краткости), $a=1,2,3$. Несимметризованные состояния: (1@1,2@2), (1@2,2@1), (1@1,2@3), (1@3,2@1), (1@2,2@3), (1@3,2@2).
Их можно антисимметризовать, получая 3 состояния:
$\begin{cases} |12\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1@1\rangle |2@2\rangle - |2@1\rangle |1@2\rangle ) \\ |13\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1@1\rangle |2@3\rangle - |2@1\rangle |1@3\rangle ) \\ |23\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1@2\rangle |2@3\rangle - |2@2\rangle |1@3\rangle ) \\ \end{cases}$