Упражнение 1 главы «6 Functions and Relations» книги по теории множеств Takeuti и Zaring на странице 31.
Цитата:
Если

, то
![\begin{multline*}
H \mathrel{\mathrm{Isom}}_{R_1, R_2} (A_1, A_2) \iff H: A_1 \xrightarrow[\mathrm{onto}]{1-1} A_2 \\ \land (\forall x\in A_1) \left[H`x\in A_2 - H`` R_1^{-1}\{x\} \land (A_2 - H`` R_1^{-1}\{x\})\cap R_2^{-1} \{H`x\} = 0\right].
\end{multline*} \begin{multline*}
H \mathrel{\mathrm{Isom}}_{R_1, R_2} (A_1, A_2) \iff H: A_1 \xrightarrow[\mathrm{onto}]{1-1} A_2 \\ \land (\forall x\in A_1) \left[H`x\in A_2 - H`` R_1^{-1}\{x\} \land (A_2 - H`` R_1^{-1}\{x\})\cap R_2^{-1} \{H`x\} = 0\right].
\end{multline*}](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/1/c3159600ed0942e98bb13a42b9e4630682.png)
Я, честно говоря, не пойму, что эта формула значит.

Необходимые определения ниже. То есть

значит, что

— это «строго» фундированное бинарное отношение на классе

;

значит, что

— это фундированный строгий линейный порядок на классе

;

значит, что

есть изоморфизм из бинарного отношения

на классе

в бинарное отношение

на классе

;

есть образ множества

вдоль бинарного отношения

;

есть образ точки

вдоль бинарного отношения

.
Цитата:
Определение 6.11.
[\langle b, y\rangle\in A]\}.$$ $$A`b = \{x\mid (\exists y)[x\in y\land \langle b, y\rangle\in A](\exists !y)[\langle b, y\rangle\in A]\}.$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/0/4409bc8ac3880109333ed2151e60a42282.png)
Цитата:
Определение 6.21.
![$$R \mathrel{\mathrm{Fr}} A \overset{\Delta}{\iff} (\forall a)\left[a\subseteq A\land a\not =\varnothing \implies (\exists x\in a)[a\cap R^{-1}\{x\} = \varnothing]\right].$$ $$R \mathrel{\mathrm{Fr}} A \overset{\Delta}{\iff} (\forall a)\left[a\subseteq A\land a\not =\varnothing \implies (\exists x\in a)[a\cap R^{-1}\{x\} = \varnothing]\right].$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/6/946e75907ead70662fbfbce88f1c7dbf82.png)
Цитата:
Определение 6.24. 2)
![$$R \mathrel{\mathrm{We}} A \overset{\Delta}{\iff} R \mathrel{\mathrm{Fr}} A \land (\forall x\in A)(\forall y\in A)[xRy\lor x=y\lor yRx].$$ $$R \mathrel{\mathrm{We}} A \overset{\Delta}{\iff} R \mathrel{\mathrm{Fr}} A \land (\forall x\in A)(\forall y\in A)[xRy\lor x=y\lor yRx].$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/f/d1f98ad4c7079a0ceea314c5d8e9a8cc82.png)