упражнение из книги Takeuti и Zaring о бинарных отношениях

[beroal]

Упражнение 1 главы «6 Functions and Relations» книги по теории множеств Takeuti и Zaring на странице 31.

Цитата:

Если $R_2 \mathrel{\mathrm{We}} A_2$, то
\begin{multline*} H \mathrel{\mathrm{Isom}}_{R_1, R_2} (A_1, A_2) \iff H: A_1 \xrightarrow[\mathrm{onto}]{1-1} A_2 \\ \land (\forall x\in A_1) \left[H`x\in A_2 - H`` R_1^{-1}\{x\} \land (A_2 - H`` R_1^{-1}\{x\})\cap R_2^{-1} \{H`x\} = 0\right]. \end{multline*}

Я, честно говоря, не пойму, что эта формула значит. Необходимые определения ниже. То есть $R \mathrel{\mathrm{Fr}} A$ значит, что $R$ — это «строго» фундированное бинарное отношение на классе $A$; $R \mathrel{\mathrm{We}} A$ значит, что $R$ — это фундированный строгий линейный порядок на классе $A$; $H \mathrel{\mathrm{Isom}}_{R_1, R_2} (A_1, A_2)$ значит, что $H$ есть изоморфизм из бинарного отношения $R_1$ на классе $A_1$ в бинарное отношение $R_2$ на классе $A_2$; $A``B$ есть образ множества $B$ вдоль бинарного отношения $A$; $A`b$ есть образ точки $b$ вдоль бинарного отношения $A$.

Цитата:

Определение 6.11.

$$A`b = \{x\mid (\exists y)[x\in y\land \langle b, y\rangle\in A](\exists !y)[\langle b, y\rangle\in A]\}.$$

Цитата:

Определение 6.21.

$$R \mathrel{\mathrm{Fr}} A \overset{\Delta}{\iff} (\forall a)\left[a\subseteq A\land a\not =\varnothing \implies (\exists x\in a)[a\cap R^{-1}\{x\} = \varnothing]\right].$$

Цитата:

Определение 6.24. 2)

$$R \mathrel{\mathrm{We}} A \overset{\Delta}{\iff} R \mathrel{\mathrm{Fr}} A \land (\forall x\in A)(\forall y\in A)[xRy\lor x=y\lor yRx].$$

[arseniiv]

А минус — разность множеств?

-- Пн сен 02, 2019 19:35:26 --

Кроме того непонятен ноль и, надо полагать, $R^{-1}\{x\}$ — множество всех $y$ таких, что $xRy$? (Почему оно тогда не пишется $R^{-1}``\{x\}$? Или $R^{-1}$ — не обратное отношение?)

[Xaositect]

Скачал издание 82 года, там последняя часть формулы (от квантора) выглядит так:

$$(\forall x \in A_1) [H`x \in A_2 - H``(R_1^{-1})``\{x\} \wedge (A_2 - H``(R_1^{-1})``\{x\}) \cap (R_2^{-1})``\{H`x\} = 0]$$

Имеется в виду, судя по всему, что для любого $x\in A_1$ нужно показать две вещи: $H`x \in A_2 - H``(R_1^{-1})``\{x\}$ и $(A_2 - H``(R_1^{-1})``\{x\}) \cap (R_2^{-1})``\{H`x\} = 0$.
Первое выглядит как какой-то нудный перенос свойств $R_1$ на образы в $A_2$, второе следует из $R_2^{-1} \circ H = H \circ R_1^{-1}$
Или проблема в чем-то другом?

[beroal]

Xaositect в сообщении #1413305 писал(а):

Скачал издание 82 года

В этой записи на Либрусеке указан 1982 год, а скачивается издание 1971 года. Видимо, ошибка. Я читаю издание 1971 года.

-- Пн сен 02, 2019 20:08:41 --

Xaositect, а можно это выразить следующим образом:

$$(\forall x\in A_1) \left[H`x\not\in H`` (R_1^{-1})`` \{x\} \land (R_2^{-1})`` \{H`x\}\subseteq H`` (R_1^{-1})`` \{x\}\right]?$$

Тогда первый аргумент конъюнкции относится к антирефлексивности. У них, по-моему, как-то коряво сформулировано.

Забыл написать, что большими латинскими буквами у них обозначаются классы.

arseniiv в сообщении #1413298 писал(а):

А минус — разность множеств?

да

arseniiv в сообщении #1413298 писал(а):

Кроме того непонятен ноль

$\varnothing$

arseniiv в сообщении #1413298 писал(а):

Или $R^{-1}$ — не обратное отношение?)

обратное, обратное

[Xaositect]

beroal в сообщении #1413310 писал(а):

Xaositect, а можно это выразить следующим образом:

$$(\forall x\in A_1) \left[H`x\not\in H`` (R_1^{-1})`` \{x\} \land (R_2^{-1})`` \{H`x\}\subseteq H`` (R_1^{-1})`` \{x\}\right]?$$

Да.

[arseniiv]

beroal
Да, непонятно, зачем я спросил про ноль, я потом и сам понял, что больше нечем ему быть. Ну может в следующий раз успею что-нибудь полезное написать.

[george66]

Подозреваю, что это принцип трансфинитной индукции.

[beroal]

george66 в сообщении #1413375 писал(а):

Подозреваю, что это принцип трансфинитной индукции.

Говорится, что $H`x$ является минимальным элементом $A_2 - H`` \left(R_1^{-1}\right)`` \{x\}$? Хм. Но почему именно это множество?

[george66]

Я так понимаю, $R^{-1}\{x\}$ это множество элементов, меньших $x$ (если $R$ порядок). Идея в том, что если для элементов, меньших $x$, уже построены образы при изоморфизме, то $x$ переходит в наименьший элемент, для которого ещё нет образа.