Линейная Алгебра Конечномерного Пространства

[combinator77]

Что значит фраза поле k линейно действует на пространстве V? В чем математический смысл данного утверждения?

-- 31.08.2019, 01:20 --

https://cdn1.savepice.ru/uploads/2019/8 ... a-full.png

[arseniiv]

Ну это какая-то вольность; не очень понятно, как говорить о линейности, не определив ещё до конца (раз мы стали интерпретировать сами аксиомы) умножение на скаляры (которое вместе со сложением используется в определении линейности) — ведь его свойства и описываются аксиомами 5…8. То, что умножение на скаляр само потом оказывается линейной функцией, в свете аксиом 5 и 7 тривиально (и притом 6 и 8 для доказательства этого не нужны, вопреки тому, что они пишут).

Правильнее сказать, что аксиомы 5…8 говорят, что отображение $f\colon\mathbf k\to(V\to V)$ скаляров в функции умножения на них $f(\lambda) = (\mathbf v\mapsto\lambda\cdot\mathbf v)$ — весьма хорошее: во-первых, умножение на каждый скаляр — аддитивная функция (5) (аддитивные функции тут очень естественны, потому что $V$ — абелева группа по сложению; это выражено аксиомами 1…4; такие функции — гомоморфизмы этой группы), притом такая, что сложение, умножение и единица поля дают для соответствующих функций естественные сложение (поэлементное) (6), умножение (композицию) (7) и единицу (тождественное отображение) (8). То есть, если использовать уже придуманные термины алгебры, аксиомы 5…8 говорят, что $f$ — гомоморфизм колец из $\mathbf k$ в кольцо эндоморфизмов группы $(V, +)$. (А $f$ мы определили так, что оно в свою очередь однозначно задаёт умножение.)

Вы сейчас скорее всего это всё не уложите в голову (и не нужно), но так говорить правильнее, чем попытались в том куске.

По смыслу все эти аксиомы дают нам говорить о линейных функциях для вещей, которые мы не обязательно можем умножать друг на друга — но их всё равно для этого придётся на что-то другое умножать, для чего мы берём поле скаляров $\mathbf k$.

[vpb]

Есть в математике такое понятие "действие". Чаще всего говорят о действии группы на множестве. См. например А.И.Кострикин, Введение в алгебру, том 3, гл.1, параграф 3. Однако, говорить о действии раньше, чем введено понятие линейного пространства, как-то нелепо в педагогическом отношении. (Да и вообще бессмысленно, как уже коллега заметил. Ведь чтобы определить, что такое "линейное действие", мы уже должны знать, что такое линейное
отображение ! И получается замкнутый круг. ). Короче, данное место в учебнике неудачное. Мой совет --- фразу про линейное действие пропустить и читать дальше. Или вообще читать учебник Кострикина (том 2) или Винберга.

Было бы интересно узнать, из какого учебника или лекционного курса взят тот фрагмент.

-- 31.08.2019, 02:20 --

P.S. Халмош (которого Вы раньше упоминали) книжка хорошая, но предполагает неявно некоторую культуру мышления, и притом чересчур уж лаконична. Но может Вам и пойдет. Но все равно Кострикина имейте в виду.

[beroal]

combinator77 в сообщении #1412975 писал(а):

Что значит фраза поле k линейно действует на пространстве V? В чем математический смысл данного утверждения?

Обратите внимание, что словосочетание «линейно действует» выделено курсивом, то есть это определение термина. Это не утверждение. Этот термин просто обозначает набор аксиом. Не знаю, правда, зачем он нужен.

[arseniiv]

Это будет не самым лучшим определением, давайте посмотрим, что нужно для линейного действия $G$ на $M$. Во-первых $G$ должна быть группой и должна быть операция $(\cdot)\colon G\times M\to M$ со свойствами $g_1\cdot(g_2 m) = (g_1 g_2)\cdot m$ и $e\cdot m = m$. Под линейностью, видимо, стоит понимать линейность всех функций $(g\cdot{})\colon M\to M$: $g\cdot (m_1 + m_2) = g\cdot m_1 + g\cdot m_2$, $g\cdot(\lambda m) = \lambda(g\cdot m)$. Для этого $M$ должно быть линейным пространством.

Первые два свойства для $G = \mathbf k^\times, M = (V, \mathbf k)$ — это аксиомы 8 и 7. Линейность — это 5 и снова 7. Аксиома 6 оказывается ненужной, то есть если мы будем так определять линейное действие, мы определим что-то более сильное чем видится очевидно нужным, и одновременно и более слабым, потому что мы действующей группой взяли обратимые скаляры векторного пространства. Если мы теперь захотим сказать, что $\operatorname{End}(V)$ линейно действует на $V$ (мы обязаны иметь такую возможность — это прототипическое линейное действие на $V$), мы не сможем. Итого: как определение не годится.

(И мы можем ослабить действие до действия моноида, тогда вместо $\mathbf k^\times$ можно будет взять весь моноид $(\mathbf k, {\cdot})$, и остаться рассматривать $\operatorname{End}(V)$, не вынуждаясь ограничиваться лишь обратимыми линейными операторами.)