Вопрос по уравнению Эйлера-Лагранжа

[Alex_J]

В случае с участием бесконечного числа высших производных, можно ли записывать уравнение как $\sum_0^\infty (-1)^n \frac{d^n}{dx^n}\frac{\partial F}{\partial y^{(n)}}=0$ ?

(Оффтоп)

первый вопрос снялся :)

[Red_Herring]

А что такое "бесконечное число высших производных" и какой смысл имеет данный функционал (определен ли он)? Похоже на упражнение в формальном обобщательстве без какого-либо реального математического смысла.

[Alex_J]

Функционал определён. Имеется в виду, что в нём присутствует сумма $\sum_0^\infty a_ky^{(k)}$.
Нужно ли обсуждать бесконечную дифференцируемость $y$? Это скорее условие на искомую функцию.

-- 30.08.2019, 15:01 --

Проблема в том, что $\frac{\partial}{\partial y^{(n)}}\sum_0^\infty a_ky^{(k)}=a_n=\operatorname{const}$, и $\frac{d}{dx}a_n=0$, и уравнение составить не получается.
Для $n=0$ $\frac{\partial F}{\partial y}=a_0$, но это ситуацию не улучшает, $y$ выпадает из уравнения.

-- 30.08.2019, 15:19 --

Т.е. если вообще функционал линейно зависит от $y^{(n)}$, то уравнение не составляется. Это нормально? ))
Например для $F=ax+by+cy'$ всё сводится к $b=0$.

[alcoholist]

Alex_J в сообщении #1412901 писал(а):

Например для $F=ax+by+cy'+\ldots$

Ну так

$$ J[y]=\int_\alpha^\beta F(x,y,y',\cdots)\,\mathrm{d}x=\left.\frac{ax+2cy(x)+\ldots}{2}\right|_\alpha^\beta+b\int_\alpha^\beta y \,\mathrm{d}x. $$

И решайте свою задачу на экстремум в своем классе функций.

[Alex_J]

alcoholist в сообщении #1412912 писал(а):

И решайте свою задачу на экстремум в своем классе функций.

Да это понятно! Но уравнение Э-Л - необходимое условие, так что придётся с ним иметь всё равно дело, а значит - см. выше.

[alcoholist]

Alex_J в сообщении #1412941 писал(а):

Но уравнение Э-Л - необходимое условие

При закрепленных концах (вот оно откуда уравнение Э-Л), получается задача об экстремуме функционала "площадь со знаком", которая решения не имеет.
Тут важно что именно за экстремальную задачу вы решаете. Свет клином на ЭЛ не сошелся.