Принцип укороченного действия

[pogulyat_vyshel]

Вот даже не знаю куда поместить эту тему. Помещаю сюда потому, что решение мне в принципе известно, а можно было бы и в дискуссионные темы написать.

Мне не очень нравится что и как написано по этому поводу у Арнольда (мат методы классической механики) , в любом случае я сейчас сформулирую в качестве задачи утверждение ,которого у Арнольда нет, но может оно есть в учебниках по вариационным методам, хотя в известных мне учебниках вроде этого утверждения нет.

So,

Let $(M,\omega)$ be a symplectic manifold with local symplectic coordinates
$z=(x,y)\in M$,

$$x=(x^1,\ldots,x^m),\quad y=(y_1,\ldots,y_m),\quad \omega=dy_i\wedge dx^i.$$

A Hamiltonian system with Hamiltonian function $H=H(z)$ is given

$$\dot y=-\frac{\partial H}{\partial x},\quad \dot x=\frac{\partial H}{\partial y}.\qquad(*)$$

The function $H$ is a first integral to system (*). And let

$$S_h=\{z\in M\mid H(z)=h\}$$

be a level surface of $H$.

Let $\Sigma_h$ stand for a set of smooth curves $\sigma\subset S_h$ such that each curve has one of its ends on a manifold $\{x=\tilde x_1\}$ while its other end belongs to a manifold $\{x=\tilde x_2\}.$ Here $\tilde x_1\ne \tilde x_2$ are fixed in advance.
The Reduced Action functional

$$\sigma\xrightarrow{\mathcal G}\int_\sigma\lambda,\quad \lambda=y_idx^i$$

is defined on the set $\Sigma_h$.



Theorem.

Assume that $\hat\sigma\in \Sigma_h$ is a critical point of the functional $\mathcal G$ and the curve $\hat\sigma$ does not contain critical points of $H$. Then the curve $\hat\sigma$can be parametrized $t\mapsto \hat z(t)$ such that $\hat z(t)$ is a solution to system (*).

[scwec]

pogulyat_vyshel в сообщении #1412432 писал(а):

но может оно есть в учебниках по вариационным методам, хотя в известных мне учебниках вроде этого утверждения нет.

Такие материалы имеются в учебнике Болотин, Карапетян, Кугушев, Трещев Теоретическая механика 2010 г.
в разделе 13.3 Канонические преобразования, п. 13.3.5, теорема 13.3 (Принцип Мопертюи в фазовом пространстве) и далее.

[pogulyat_vyshel]

Да, действительно. У них там, похоже, аж три способа предлагается. Ну значит мой способ -- четвертый. Вообщем правильно, что задача в олимпиадном разделе.

[scwec]

Так Вы сразу бы его и выложили. Чего тянуть-то. Зная что есть четыре способа решения, какой смысл придумывать пятый. Хотя, может и найдутся желающие.

[pogulyat_vyshel]

я доказывал с помощью гамильтоновой версии теоремы о выпрямлении векторного поля

[scwec]

Ещё раз посмотрел (наверное, это не всё), что написано про принцип Мопертюи в фазовом пространстве.
1. А. Пуанкаре "Новые методы в небесной механике" глава 29 "Различные формы принципа наименьшего действия".
2. В.В. Козлов в работе "Вариационное исчисление в целом и классическая механика" не затрагивает принципа наименьшего действия в фазовом пространстве и ссылается для ознакомления на п.1.
3. Ф.Р. Гантмахер "Лекции по аналитической механике". $\S{20}$ "Обобщенно- консервативные системы. Уравнения Уиттекера. Уравнения Якоби. Принцип наименьшего действия Мопертюи-Лагранжа."
4. Ссылка на учебник (Болотин, Карапетян, Кугушев, Трещев) приведена выше. Кстати, изложение в этом вопросе не далеко от Гантмахера и Пуанкаре.
5. Думаю, в соответствии с заявлением ТС о четвертом способе доказательства, желательно изложить его более подробно.

[pogulyat_vyshel]

Recall the Vector Field Straightening Theorem.
If at a point $z'\in M$ the Hamiltonian is non-degenerate: $dH(z')\ne 0$ then in some open neighborhood $U$ of the point $z'$ there exist a local symplectic coordinates $Z=(X,Y)$ such that $H=X^1+const.$

Observe also that since $\omega=dY_i\wedge dX^i$ and $d\lambda=\omega$ then in these new coordinates one has

$$\lambda=Y_idX^i+df(X,Y).$$

Suppose that the curve $\hat\sigma$ has its ends at points $A,B$ and we have already parametrized an arc of the curve from the point $A$ to a point $C\in \hat\sigma$ by means of parametrization

$$\hat z(t),\quad \hat z(t_A)=A,\quad \hat z(t_C)=C,\quad t\in[t_A,t_C]$$

and $\hat z(t)$ is a solution to system (*). The point $C$ is situated between the points $A,B$ at the curve.

Introduce the coordinates $(X,Y)$ in some open neighborhood $U$ of the point $C$.



The manifold $U\cap S_h$ is determined as follows $\{X^1=h-const\}$. So that

$$\lambda\Big|_{U\cap S_h}=\sum_{i=2}^mY_idX^i+df.$$

Let $ \hat Z(t)=(Q(t),P(t)),\quad t\in (t_C,t^*)$ be a parametrization of $\hat\sigma$ from the point $C,\quad \hat Z(t_C)=C$ to some other point at the exit from $U$.


Consider the following perturbation

$$Z_\varepsilon(t)= \hat Z(t)+\varepsilon w(t)\in U\cap S_h,\quad w(t)=(a,b)(t),\quad \mathrm{supp}\,w\subset (t_C,t^*) ,\quad a^1(t)=0$$

of the curve $\hat \sigma$. This perturbation is denoted by $\sigma_\varepsilon$.
So that after integration by parts we get

$$\frac{d}{d\varepsilon}\Big|_{\varepsilon=0}\mathcal G(\sigma_\varepsilon)=\int_{t_C}^{t^*}\sum_{i=2}^m\big(b_i(t)\dot Q^i(t)-a^i(t)\dot P_i(t)\big)dt=0.$$

This implies that the functions
$ P_i(t), Q^i(t),\quad i=2,\ldots,m$ are identical constants.



We also have $ Q^1(t)=h-const $. The variable $Y_1$ is changed freely along the curve $\hat\sigma$ . Consequently if $Y_1$-coordinate of the point $C$ is equal to $Y_1^C$ then we can put $P_1(t)=Y_1^C+t_C-t,\quad t\in(t_C,t^*)$.

It is easy to see that the vector $\hat Z(t)=(Q(t),P(t))$ satisfies system (*) for $t\in(t_C,t^*)$. The function $\hat Z(t)$ is continuous at the point $t=t_C$. Moreover,

$$\lim_{t\to t_C+}\frac{d}{dt}\hat Z(t)=v_H(C)=\lim_{t\to t_C-}\frac{d}{dt}\hat z(t).$$

Then we straight the vector field $(*)$ in a neighborhood of the point $\hat Z(t^*)$ and so on.