Разложение в ряд Маклорена. Условно сходящиеся ряды

[Judy Ju]

Не понимаю, правильно или неправильно решаю. Очень-очень надеюсь на хоть какие-то идеи.
Задание просто и незамысловато: "разложить в степенной ряд в окрестности точки $x=0$ функцию

$$y=\frac{x}{x^2-3x+2}$$

".
Решала двумя способами.
1). Разложить на множители как $=x\cdot \frac{1}{x-2}\cdot \frac{1}{x-1}$. По формуле Маклорена для

$$(1+x_0)^\alpha=1+\alpha\cdot x_0+\frac{\alpha(\alpha-1)x_0^2}{2!}+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)x_0^3}{3!}+ \ldots+\frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n)x_0^n}{n!}=$$=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n)x_0^n}{n!}$$

с интервалом сходимости $|x_0|<1$, где для первой дроби из моего разложения $\alpha=-1$, $x_0=x-3$ и $\alpha=-1$, $x_0=x-2$ для второй.
Дальше предполагается найти произведение их разложений и домножить на x, что и будет ответом.
Тут я и сталкиваюсь с проблемой.
Если умножить сходящиеся ряды, то если хоть один из них сходится абсолютно, то, по теореме Мертенса, результат можно найти так же, как и для обоих абсолютно сходящихся.
Но у меня они оба сходятся условно
Не понимаю, как тогда найти результат? Имею ли я вообще право их умножать?..
2). Разложить не на множители, а на сумму (разность) методом неопределенных коэффициентов. Получилось $=\frac{2}{x-2}-\frac{1}{x-1}$.
Раскладываю каждое слагаемое в ряд Маклорена и потом нахожу сумму (разность) результатов.
Всплывает та же проблема.
Оба ряда сходятся условно. Как я понимаю, можно суммировать абсолютно сходящиеся и расходящиеся ряды, но насчет условно сходящихся не получается разобраться.

Заранее благодарю за любой ответ!

[thething]

Естественно, вторым способом. Складываются любые сходящиеся ряды. Правда, Вы ни слова не сказали о множестве их сходимости, а также о множестве сходимости суммы. Также, не забудьте, что от Вас просят разложение в окрестности нуля.

[Xaositect]

Складывать можно любые сходящиеся ряды.
Но ряды Маклорена, вообще-то, сходятся абсолютно в интервале сходимости. Почему Вы думаете, что у Вас что-то сходится условно.
Но проблема тут даже не в том, а в том, что Вы неправильно выбираете параметры для использования формулы. Вам нужно выбрать $x_0$ так, чтобы разложения работали в окрестности нуля. А для этого Ваши выражения надо еще немножко преобразовать.

[Someone]

Judy Ju в сообщении #1412404 писал(а):

с интервалом сходимости $|x_0|<1$, где для первой дроби из моего разложения $\alpha=-1$, $x_0=x-3$ и $\alpha=-1$, $x_0=x-2$ для второй.

(Жаль, что нет смайлика "волосы дыбом".) Интервал сходимости, уж извините, какой получится. И, поскольку переменной является $x$, а не $x_0$, он задаётся неравенством для $x$, а не для $x_0$. А фраза

Judy Ju в сообщении #1412404 писал(а):

разложить в степенной ряд в окрестности точки $x=0$

в задании автоматически означает, что $x_0=0$. Что касается преобразований, на которые намекает Xaositect, то они стандартные. Читайте конспект, если он у Вас есть, или учебник.

[Judy Ju]

Всем спасибо, очень помогли разобраться.