О спектре компактного самосопряженного оператора

[demolishka]

Пусть $P \colon \mathbb{H} \to \mathbb{H}$ есть компактный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве $\mathbb{H}$. Предположим, что имеет место разложение в прямую сумму $\mathbb{H} = \mathbb{H}^{+} \oplus \mathbb{H}^{-}$ такое, что $(Px,x) > 0$ для $x \in \mathbb{H}^{+}$, $x \not= 0$. Пусть $\dim \mathbb{H}^{-}=j < \infty$. Легко показать, что $P$ имеет не более $j$ отрицательных собственных значений (с учетом кратности).

Предположим теперь дополнительно, что $(Px,x) < 0$ для $x \in \mathbb{H}^{-}$, $x \not= 0$, и $\operatorname{Ker}P = 0$. Верно ли, что $P$ имеет ровно $j$ отрицательных собственных значений (с учетом кратности)? Или их может быть меньше $j$?

[worm2]

Вроде бы $\mathbb{H^{-}}$, будучи конечномерным, изоморфно $\mathbb{C}^j$ или $\mathbb{R}^j$ (над чем у нас там $\mathbb{H}$). Поэтому можно невозбранно пользоваться соответствующими результатами для матриц. У отрицательно определённой матрицы, соответствующей сужению $P$ на $\mathbb{H^{-}}$ (в каком-нибудь базисе $\mathbb{H^{-}}$, не обязательно из собственных векторов), будут те же собственные значения, что и у сужения $P$ на $\mathbb{H^{-}}$, а их как раз $j$ штук (с учётом кратности), и все отрицательные.
Но, может быть, я что-то упустил.

[demolishka]

worm2 в сообщении #1412301 писал(а):

Вроде бы $\mathbb{H^{-}}$, будучи конечномерным, изоморфно $\mathbb{C}^j$ или $\mathbb{R}^j$ (над чем у нас там $\mathbb{H}$). Поэтому можно невозбранно пользоваться соответствующими результатами для матриц. У отрицательно определённой матрицы, соответствующей сужению $P$ на $\mathbb{H^{-}}$ (в каком-нибудь базисе $\mathbb{H^{-}}$), будут те же собственные значения, что и у сужения $P$ на $\mathbb{H^{-}}$, а их как раз $j$ штук (с учётом кратности), и все отрицательные.
Но, может быть, я что-то упустил.

Для этого нужна $P$-инвариантность подпространства $\mathbb{H}^{-}$, а ее тут нет.

Вот для $j=1$ утверждение верно. Если кв. форма где-то отрицательна, то обязательно должно быть отрицательное с. з. Но их не больше одного, а значит всего одно. Также утверждение верно для конечномерного $\mathbb{H}$.

Можно рассмотреть более слабую задачу. Пусть кв. форма $P$ отрицательно определена на $j$-мерном подпространстве. Может ли $P$ иметь меньше $j$ собственных чисел (с учетом кратности)?

[Red_Herring]

Если на каком-то подпространстве (необязательно инвариантном) $L$ самосопряженный оператор положительно (отрицательно) определен, то его размерность не превосходит размерности положительного (отрицательного) спектрального подпространства этого оператора

[demolishka]

Red_Herring в сообщении #1412312 писал(а):

Если на каком-то подпространстве (необязательно инвариантном) $L$ самосопряженный оператор положительно (отрицательно) определен, то его размерность не превосходит размерности положительного (отрицательного) спектрального подпространства этого оператора

А где доказательство подсмотреть можно?

[Red_Herring]

demolishka в сообщении #1412334 писал(а):

А где доказательство подсмотреть можно?

Имеет смысл, когда размерность конечна. Если $\dim L > \dim H^-$, то существует $x\in L \cap H^{-\,\perp}$ и значит $x\in L\cap (H^+\oplus H^0)$.

[DeBill]

demolishka Да легко:
В матрице размера $m\times n$ при $n>m$ столбцы линейно зависимы: подходящая их линейная комбинация равна нулю. Это и означает, что ортогональное дополнение к $m$ мерному подпространству всегда имеет ненулевое пересечение с $n-$мерным подпространством: Если
$L=<a_1,...a_m>^{\perp}$ и $V=<b_1,...,b_n$, то для матрицы $A, A_{i,j}= (a_i,b_j)$ нулевость линейной комбинации столбцов с к-тами $c_1,...,c_n$ равносильна ортогональности элемента $b=c_1b_1+...+c_nb_n$ из $V$ всем векторам $a_i$, т.е., $b\in L$.

(Оффтоп)

Т.е., $(\infty - 2) +3 > \infty$, например