Давление столба газа. ФЛФ, з-ча 39-4.

[Uchitel'_istorii]

Условие английское и ответ:

PNG. писал(а):

39-4. a) Imagine a tall vertical column of gaseous or liquid fluid whose density varies with height. Show that the pressure as a function of height follows the differential equation $dP/dh = -\rho (h)g$.

b) Solve this differential equation for the case of a gaseous atmosphere of molecular weight $\mu$ , in which the temperature is constant as a function of $h$.

Условие русское:

Цитата:

39. 4. а) Представьте себе высокую вертикальную колонку, наполненную газом или жидкостью, плотность которых изменяется с высотой. Покажите, что в этом случае зависимость давления от высоты описывается дифференциальным уравнением $dP/dh=-\rho(h)g$.

б) Решите это уравнение для случая атмосферного воздуха (молекулярный вес $\mu$), если его температура не зависит от высоты.

В решении они пишут PNG, что разность давлений на двух высотах — это вес столба между этими высотами, на единицу площади: $\text{d}P = - \rho g \text{d}h$. Но если взять уравнение (39.5):
$P = nmv_y^2$
(ось $y$ совпадает с осью $h$);
$P =\rho v_y^2$
$\text{d}P =2\rho v_y \text{d}v_y + v_y^2 \text{d}\rho$
Дифференцируя закон сохранения энергии $mv_y\text{d}v_y + mg\text{d}h = 0$,
$\text{d}P =-2\rho g \text{d}h + v_y^2 \text{d}\rho$,
причем если $\text{d}h > 0$, то $\text{d}P < 0$, $\text{d}\rho < 0$.
Т.е. в абсолютных величинах:
$|\text{d}P| > |2\rho g \text{d}h|$.

Получается расхожденив в 2 раза. Где ошибка?

[Uchitel'_istorii]

В газе $v_x = v_y = v_z$, поэтому , видимо, надо использовать формулы:
$P = \tfrac{1}{3}\rho v^2$,
$mv\text{d}v+ mg\text{d}h = 0$.
Тогда
$\text{d}P = -\tfrac{2}{3}\rho g \text{d}h + \tfrac{1}{3}v^2\text{d}\rho$.

Но в таком случае должно соблюдаться уравнение
$ v^2\text{d}\rho = - \rho g \text{d}h$,
$v/\rho = \text{const}$.
Исходя из данных ГОСТ 4401-81 , последнее условие не соблюдается.

[se-sss]

Вообще-то в $39.5$ фигурирует средний квадрат $\left\langle{v_y^2}\right\rangle$.
Не уверен, что его (а также и $\left\langle{v^2}\right\rangle$) можно так лихо дифференцировать.

[Uchitel'_istorii]

Похоже, что мой подход неверный. Кинетическая энергия у единичных молекул при увеличении высоты конечно уменьшается, но из-за соприкосновения слоев идет обмен энергией и энергии слоев выравниваются по уравнению (39.21).

[Uchitel'_istorii]

Точнее, выравнивается кинетическая энергия, приходящаяся на одну молекулу.

[Утундрий]

Uchitel'_istorii в сообщении #1409667 писал(а):

Получается расхожденив в 2 раза. Где ошибка?

В уравнении состояния.

[Uchitel'_istorii]

Цитата:

39. 5. Адиабатической называется атмосфера, в которой давление и плотность в зависимости от высоты удовлетворяют соотношению $P\rho^{-\gamma} = const$.
а) Покажите, что температура такой атмосферы линейно уменьшается с высотой, и найдите коэффициент пропорциональности. Такой температурный градиент называется адиабатическим. Найдите температурный градиент для земной атмосферы.
б) Используя аргументы, основанные на энергетических соображениях, покажите, что атмосфера с температурным градиентом, меньшим или большим адиабатического, будет соответственно стабильной или нестабильной относительно конвекции.

В задаче 39-5 как раз об этом речь. Решая задачу a) , была получена формула:
$\text{d}T = - \tfrac{(\gamma - 1)mg}{\gamma k}\text{d}h$
Подаставляя значения :
$m = 29/6.02\times10^{23} \text{g} $; $k = 1.38\times10^{-23} \text{J/K}$; $\gamma = 1.4$,—
$\tfrac{\text{d}T}{\text{d}h} = -9.78 \text{K/km}$.
Т.к. $\tfrac{3}{2}kT = \langle{\tfrac{mv^2}{2}}\rangle$ ,
$\text{d}\langle{\tfrac{mv^2}{2}\rangle = - \tfrac{3}{2}\tfrac{(\gamma - 1)mg}{\gamma }\text{d}h$.

В формуле (39.21) не учтено наличие поля. У всех молекул воздуха с увеличением высоты будет уменьшаться кинетическая энергия по формуле:
$\text{d}\langle{\tfrac{mv^2}{2}}\rangle = - mg\text{d}h$

Т.е. при градиенте $-9.78 \text{K/km}$ как раз должна возникать конвекция, т.к. при наборе высоты у молекул остается в 2,333 раза больше кинетической энергии , чем должно быть по закону сохранения энергии.

[se-sss]

Формула 39.21 имеет вполне определённый смысл и не надо её трогать.

Uchitel'_istorii в сообщении #1411886 писал(а):

должна возникать конвекция, т.к. при наборе высоты у молекул остается в 2,333 раза больше кинетической энергии , чем должно быть по закону сохранения энергии.

Насколько я понимаю ваше рассуждение, вывод о том, что эта атмосфера сама по себе нестабильна верен.
Но только это не про конвекцию, где происходит макроскопическое перемешивание.
Вы остаётесь на микроуровне. А здесь эта нестабильность выражается в обыкновенной теплопроводности.
Атмосфера нестабильна, она в конце концов отрелаксирует и будет иметь везде одинаковую температуру, если ей никто мешать не будет( Солнце, например),
но вот только по сравнению с конвекцией это будет гораздо более длительный процесс.

Кстати, про порог.
Сейчас я этого не могу найти, но вроде встречал, что реальный порог сильно отличается от высчитанного в этой задаче и там не всё ясно в плане физике.

[Uchitel'_istorii]

Тогда для стабильности атмосферы надо доказать, что $\tfrac{\text{d}\rho}{\text{d}h}<0$.
$\rho = \tfrac{Pm}{3kT}$
$\text{d}\rho = \tfrac{m}{3k}(\tfrac{\text{d}P}{T}+\tfrac{-P\text{d}T}{T^2})$

$(\tfrac{\text{d}P}{T}+\tfrac{-P\text{d}T}{T^2}) < 0 ,\text{ } \text{d}h > 0$
$\text{d}P = -\rho g \text{d}h$
$\text{d}T = X \text{d}h$
$-\rho g \text{d}h+\tfrac{-3\rho k X \text{d}h}{m} < 0$
$ - g +\tfrac{-3 k X }{m} < 0$ ,
$X > - \tfrac{gm}{3 k} = -11.41 \text{K/km}$

Только как сюда прикрутить энергетические соображения? Поненциальная энергия столба должна быть минимальной, но отсюда сразу следует, что плотность должна уменьшаться с высотой.

[DimaM]

Uchitel'_istorii в сообщении #1411939 писал(а):

Только как сюда прикрутить энергетические соображения? Поненциальная энергия столба должна быть минимальной, но отсюда сразу следует, что плотность должна уменьшаться с высотой.

Обычно рассматривается градиент температуры для адиабатической атмосферы. То есть считаем $P\sim\rho^{\gamma}$ и вычисляем $dT/dh$. Теперь если этот "адиабатический" градиент по модулю больше наличного, то атмосфера устойчива (случайно поднявшийся объем окажется холоднее и тяжелее окружения и опустится обратно), иначе - неустойчива.

[se-sss]

Выделенный кусочек газа при изменении своего положения по высоте ещё и объём менять будет, а значит и плотность.
Так что там сложнее, чем знак градиента плотности.

(Оффтоп)

В ответы в руссском издании не подглядываете?

-- 26.08.2019, 11:00 --

DimaM

Вот именно это утверждении и надо обосноватьUchitel'_istorii

[DimaM]

se-sss в сообщении #1412069 писал(а):

Вот именно это утверждении и надо обосновать

Надо не обосновать, а получить $dT/dh$ для адиабатической атмосферы.

-- 26.08.2019, 15:35 --

Uchitel'_istorii в сообщении #1411886 писал(а):

У всех молекул воздуха с увеличением высоты будет уменьшаться кинетическая энергия по формуле:
$\text{d}\langle{\tfrac{mv^2}{2}}\rangle = - mg\text{d}h$

Нет, так будет, если молекулы не взаимодействуют. Для атмосферы эта формула не верна.

[Uchitel'_istorii]

Цитата:

В ответы в руссском издании не подглядываете?

По задаче 39-5 решение пока не смотрел. Стараюсь смотреть решение после нахождения собственного, иначе пропадает все удовольствие.

DimaM в сообщении #1412080 писал(а):

Надо не обосновать, а получить $dT/dh$ для адиабатической атмосферы.

Для адиабатической атмосферы получено $\tfrac{\text{d}T}{\text{d}h} = -9.78 \text{K/km}$.
Вывод формулы:
$P\rho^{-\gamma} = const$
$\rho^{-\gamma}\text{d}P - P \gamma \rho^{-\gamma -1}\text{d}\rho = 0$
$\text{d}P - \gamma P \rho^{-1}\text{d}\rho = 0$
$\text{d}P - \gamma \tfrac{\rho k T}{m} \rho^{-1}\text{d}\rho = 0$
$\text{d}P - \gamma \tfrac{k T}{m}\text{d}\rho = 0 \quad\quad\therefore T = \tfrac{m}{\gamma k}\tfrac{\text{d}P}{\text{d}\rho}$

$\text{d}(\tfrac{\rho k T}{m}) - \gamma \tfrac{\rho k T}{m} \rho^{-1}\text{d}\rho = 0$
$\text{d}(\rho T) - \gamma T\text{d}\rho = 0$
$\text{d}T = \tfrac{(\gamma - 1)T\text{d}\rho}{\rho}$
$ = \tfrac{(\gamma - 1)(\tfrac{m}{\gamma k}\tfrac{\text{d}P}{\text{d}\rho})\text{d}\rho}{\rho}$
$ = \tfrac{(\gamma - 1)m\text{d}P}{\rho \gamma k}$
$ = \tfrac{(\gamma - 1)m(-\rho g \text{d}h)}{\rho \gamma k}$
$\tfrac{\text{d}T}{\text{d}h} = - \tfrac{(\gamma - 1)m g}{\gamma k}$

Цитата:

Uchitel'_istorii в сообщении #1411886 писал(а):

У всех молекул воздуха с увеличением высоты будет уменьшаться кинетическая энергия по формуле:
$\text{d}\langle{\tfrac{mv^2}{2}}\rangle = - mg\text{d}h$

Нет, так будет, если молекулы не взаимодействуют. Для атмосферы эта формула не верна.

Т.е. надо добавлять работу силы взаимодействия? Т.е. для двух взаимодействующих частиц:
$d(\tfrac{m_1v_1^2}{2}) = - m_1g\text{d}h + \mathbf{F}\text{d}\mathbf{s}$
$d(\tfrac{m_2v_2^2}{2}) = - m_2g\text{d}h - \mathbf{F}\text{d}\mathbf{s}$
Просуммировать эти 2 уравнения можно или нет?