2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Геометрия: погрешность задания многоугольника
Сообщение22.08.2019, 11:51 


25/12/16
35
Здравствуйте. В практике своей работы столкнулся с одной задачей. Пока опишу её математическую суть. Позже, если будет нужно, - практические подробности.

Имеем многоугольник. Теоретически он однозначно задаётся совокупностью следующих величин:
  1. расстояния между соседними вершинами;
  2. расстояния между вершинами через одну;
  3. свойством каждой вершины, которое говорит, лежит ли данная вершина с одной или с другой стороны от отрезка, соединяющего две смежные с ней вершины (т.е. своего рода "локальная выпуклость/вогнутость" этой части многоугольника).

На практике указанные расстояния замеряются с некоторой погрешностью, скажем, не превосходящей $\Delta$. Это приводит к тому, что геометрические характеристики многоугольника отличаются от истинных. Нас интересуют всевозможные попарные расстояния между вершинами.

Вопрос: какова наибольшая возможная погрешность $f(\Delta)$ для попарных расстояний?

По-другому говоря, если я утверждаю, что все указанные расстояния изменить не более чем на $\Delta$, то попарные расстояния изменятся не более чем на $f(\Delta)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия: погрешность задания многоугольника
Сообщение22.08.2019, 21:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Смотря как много всего вершин и насколько близко друг к другу им позволено бывать. Если ни то, ни другое не ограничено - очевидно, $f(\Delta)=\infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия: погрешность задания многоугольника
Сообщение22.08.2019, 22:02 


25/12/16
35
Вершин от 6 до 30, расстояния между соседними вершинами 15-30 см, погрешность $\Delta$, скажем, 5 мм или 10 мм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия: погрешность задания многоугольника
Сообщение22.08.2019, 22:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Тогда ответ конечен (раз ограничены сами стороны и их число, то имеем верхнюю границу на все попарные расстояния, а заодно и на их ошибку), но всё-таки может оказаться довольно велик. Вам нужно запихнуть $f(\Delta)$ под что-то конкретное, или просто "чем меньше - тем лучше"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия: погрешность задания многоугольника
Сообщение22.08.2019, 22:58 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Mikula
$f(\Delta) =\Delta\cdot \left\lfloor \frac{n+2}{4}\right\rfloor$ -
годится? Оценка - легко: от вершины до вершины по сторонам и коротким диагоналям всегда можно дойти за столько шагов, длина вектора "сумма ошибок" не превышает суммы длин слагаемых....
Достигается - для вырожденного многоугольника (все вершины - на прямой)...

-- 23.08.2019, 01:04 --

Ой, в части "оценка" соврамши я , навроде...

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия: погрешность задания многоугольника
Сообщение22.08.2019, 23:08 


25/12/16
35
ИСН в сообщении #1411707 писал(а):
Вам нужно запихнуть $f(\Delta)$ под что-то конкретное, или просто "чем меньше - тем лучше"?

Нужно оценить разумно величину $f(\Delta)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия: погрешность задания многоугольника
Сообщение22.08.2019, 23:34 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Нда, при малых дельтах, ошибка запросто может быть порядка $\sqrt{nL\Delta}$, где $L$ - длина наибольшего ребра....

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрия: погрешность задания многоугольника
Сообщение25.08.2019, 10:28 


25/12/16
35
Благодарю всех за участие!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group