Геометрия: погрешность задания многоугольника

[Mikula]

Здравствуйте. В практике своей работы столкнулся с одной задачей. Пока опишу её математическую суть. Позже, если будет нужно, - практические подробности.

Имеем многоугольник. Теоретически он однозначно задаётся совокупностью следующих величин:

1. расстояния между соседними вершинами;
2. расстояния между вершинами через одну;
3. свойством каждой вершины, которое говорит, лежит ли данная вершина с одной или с другой стороны от отрезка, соединяющего две смежные с ней вершины (т.е. своего рода "локальная выпуклость/вогнутость" этой части многоугольника).

На практике указанные расстояния замеряются с некоторой погрешностью, скажем, не превосходящей $\Delta$. Это приводит к тому, что геометрические характеристики многоугольника отличаются от истинных. Нас интересуют всевозможные попарные расстояния между вершинами.

Вопрос: какова наибольшая возможная погрешность $f(\Delta)$ для попарных расстояний?

По-другому говоря, если я утверждаю, что все указанные расстояния изменить не более чем на $\Delta$, то попарные расстояния изменятся не более чем на $f(\Delta)$.

[ИСН]

Смотря как много всего вершин и насколько близко друг к другу им позволено бывать. Если ни то, ни другое не ограничено - очевидно, $f(\Delta)=\infty$.

[Mikula]

Вершин от 6 до 30, расстояния между соседними вершинами 15-30 см, погрешность $\Delta$, скажем, 5 мм или 10 мм.

[ИСН]

Тогда ответ конечен (раз ограничены сами стороны и их число, то имеем верхнюю границу на все попарные расстояния, а заодно и на их ошибку), но всё-таки может оказаться довольно велик. Вам нужно запихнуть $f(\Delta)$ под что-то конкретное, или просто "чем меньше - тем лучше"?

[DeBill]

Mikula
$f(\Delta) =\Delta\cdot \left\lfloor \frac{n+2}{4}\right\rfloor$ -
годится? Оценка - легко: от вершины до вершины по сторонам и коротким диагоналям всегда можно дойти за столько шагов, длина вектора "сумма ошибок" не превышает суммы длин слагаемых....
Достигается - для вырожденного многоугольника (все вершины - на прямой)...

-- 23.08.2019, 01:04 --

Ой, в части "оценка" соврамши я , навроде...

[Mikula]

ИСН в сообщении #1411707 писал(а):

Вам нужно запихнуть $f(\Delta)$ под что-то конкретное, или просто "чем меньше - тем лучше"?

Нужно оценить разумно величину $f(\Delta)$.

[DeBill]

Нда, при малых дельтах, ошибка запросто может быть порядка $\sqrt{nL\Delta}$, где $L$ - длина наибольшего ребра....

[Mikula]

Благодарю всех за участие!