Линеаризация нелинейной двумерной динамической системы

[btoom]

Обсудим приближение нелинейных динамических систем на примере системы, получаемой из уравнения колебаний математического маятника $\varphi ''+\sin\varphi =0$:
$\left\{\begin{matrix} x'=y, & \\ y'=-\sin x. & \end{matrix}\right.$
Неясны два момента по двум методам линеаризации с целью определения фазового портрета в окрестности точки равновесия.

Метод первый - считаем матрицу Якоби вектор-функции правых частей в точке равновесия. Она станет приближением. В данном случае имеем точку $(\pi k,0), k \in \mathbb{Z}$. Матрица Якоби:
$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\cos x & 0 \end{pmatrix}$

Для четных k получим:
$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
Собственные значения $\lambda =\pm i$. Чисто мнимые, значит, фазовый портрет - центр.

Для нечетных:
$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
Собственные значения $\lambda =\pm 1. Действительные, разные, разные по знаку. Значит, седло.

Корректно ли я понимаю нижеследующее утверждение?

Теорема Гробмана-Хартмана (Ляпунова-Пуанкаре) утверждает, что говорить о топологической эквивалентности динамических систем корректно, когда нет чисто мнимых собственных значений. Если фазовый портрет линеаризации это центр, то приближение получено некорректно, например, на отдалении от точки равновесия может быть так называемый медленный фокус (пример лежит тут).

Для четных $k$ как раз центр. На вопрос "почему после получения центра мы продолжаем исследование" я отвечаю так: "потому что мы рассматриваем не только одну точку равновесия и убеждаемся, что там сложный фазовый портрет, а не просто центр". Корректно ли обойтись рассмотрением других точек равновесия?

Метод второй - исключая $dt$, переходим к ОДУ, чьи интегральные кривые приближают фазовый портрет искомой системы при некоторых условиях или даже совпадают с ним.

Имеем уравнение в полных дифференциалах $\frac{dx}{y}=\frac{dy}{-\sin x}$ и получаем $y=\pm (2\cos x+2 C_1)^{1/2}$, где $C_1$ - действительная постоянная. При $y=0$ и $C_1 \geq -1$ получаем последовательно разные траектории и приходим к тому же фазовому портрету, что дал первый метод.

Условия, которые мне не очень прояснила книга "Введение в теорию динамических систем" Юмагулова (книга, впрочем, нравится) приведу скрином для цельности цитирования:

(Оффтоп)

Правильно понимаю, что точка $(x_0,y_0)$ это изолированная точка равновесия? Но ведь в таком случае и $f$, и $g$ по определению обращаются в нуль. Можно ли переходить к уравнению, если и числитель, и знаменатель обращаются в нуль, как в случая маятника?

Заранее благодарю.

[Red_Herring]

btoom в сообщении #1411061 писал(а):

Если фазовый портрет линеаризации это центр, то приближение получено некорректно,

Для общих систем по линеаризации в случае мнимых с.з. вывод сделать нельзя, но исходная система 2-мерная интегрируемая поэтому никакого фокуса быть не может. Т.ч. центр.

Что значит "приближение некорректно" сия тайна великая есть.

[DeBill]

btoom в сообщении #1411061 писал(а):

на отдалении от точки равновесия может быть так называемый медленный фокус (пример лежит тут
).

Неудачная картинка, и , соответстыенно, неправильно понятая: на картинке ВСЕ фазовые кривые - спирали, просто вблизи о.т. они так медленно закручиваются, что все слилось в одно пятно; нет там вааще циклов.
Про некорректность - не, все не так:

btoom в сообщении #1411061 писал(а):

и убеждаемся, что там сложный фазовый портрет, а не просто центр".

Следует различать понятия
а) линейный центр б) нелинейный центр в) центр по линейным членам
(и если внимательно посмотреть на текст "тут", Вы увидите, что автор аккуратно их и использует). Однако, часто прилагательное опускают, что может (а в Вашем случае это и случилось) привести к путанице. Вставьте в Ваш текст нужные прилагательные - и что же получится? Или я что то не понял? (вроде, логика у Вас такая: портрет - сложный, значит, это Не центр. Но это - центр ??? )
И - еще: локальное исследование особых точек часто НЕДОТСАТОЧНО для построения глобального фазовового портрета: вблизи фокуса (или центра) могут быть циклы, не улавливаемые локальными методами; наличие сепаратрис, идущих из седла в седло (как у Вас) - тоже плохо контролируется... Так что локальное исследование - это хорошо, но мало, и применяют его от безысходности, чтоб хоть что то поиметь. Для данной задачи (являющейся счастливым исключением - второй то метод работает) лучше - второй.

[btoom]

Стало быть, в случае маятника приближение даёт центр по линейным членам - так? Об этом ведь говорит теорема Гробмана-Хартмана? О чисто мнимых собственных значениях линеаризации?

Логика у меня такая - получился центр, но это только для четных точек и только для приближения, поэтому посмотрим нечетные и проверим вторым методом.

Большое спасибо. На всякий случай повторюсь, что в этой задаче достаточно рассмотрения портретов вблизи точек равновесия - для получения базового представления. Это все чисто в целях самообразования. Для настоящей задачи, конечно, пришлось бы глубже погрузиться в методологию.

Правильно понимаю, что во втором методе под точкой $(x_0, y_0)$ в скрине из исходного поста подразумевается точка равновесия? В книге полистал назад, не нашел.

Как по мне, второй подход иной раз более надёжный, хотя может оказаться сложнее.

[DeBill]

btoom в сообщении #1411197 писал(а):

под точкой $(x_0, y_0)$ в скрине из исходного поста подразумевается точка равновесия?

Нет. Там - в том отрывке, что Вы выложили - как раз в основном говорится про неособые точки. И лишь обсуждая ситуацию, когда все плохо, говорят: ой, это - особая точка (стр.137, строки 4-5). Но это - неважно: переход к неавтономной системе, состоящий в делении одного уравнения на другое, работает и в окрестности особых точек : надо только отдавать себе отчет, что на 0 то делить низя все таки - так что совпадение фазового портрета с "интегральным " будет только в тех точках плоскости, где знаменатель не 0. Ну, и направления движения (на фазовых кривых) - эта информация при делении тоже теряется...

[btoom]

Большое спасибо.

Все же интересная тема. Правда, с несколько расплывчатыми границами сложности.

Первый подход легче, но менее точный, второй точнее, но сложнее. Несложно там "напороться" на какое-нибудь неприятное уравнение - нелинейность всякая бывает. Будет какой-нибудь гиперболический косинус е в степени корня тангенса отношения икса к игреку в степени пи...