Привести к каноническому виду

[Unsleep]

Помогите пожалуйста с заданием:

Найти невырожденное линейное преобразование, приводящее одну из форм к диагональному виду, а вторую - к каноническому.

f=$x_1^2+26$x_2^2+10$x_1$x_2 g=$x_1^2+56$x_2^2+16$x_1$x_2

или хотя бы привести к каноническому виду 2. Я сколько не пытался получал корни не целые.

[PAV]

PAV:

Тема переносится в карантин. Исправьте в своем сообщении формулы в соответствии с правилами форума (инструкция здесь). Когда будет готово, сообщите любому модератору, и тема будет возвращена обратно.

Добавлено спустя 16 минут 1 секунду:

Возвращено. Только знаками доллара нужно окружать всю формулу, а не только индексы. Это и правильнее, и легче, и отображаться будет более красиво.

[Алексей К.]

Unsleep в сообщении #141063 писал(а):

Я сколько не пытался получал D<0

Попытку в студию --- и Вам кинутся помогать.

[Unsleep]

Алексей К. писал(а):

Unsleep в сообщении #141063 писал(а):

Я сколько не пытался получал D<0

Попытку в студию --- и Вам кинутся помогать.

собственно получается $a__11; a__12=8; a__22=56$

Дальше идет матрица 2 на 2.

$ \left( \begin{array}{cc}1-h & 8 \\ 8 & 56-h \end{array} \right)$

$(1-h)(56-h)-64=0 h^2-57h-8=0$

[PAV]

При наборе индексов, состоящих из более чем одного символа, необходимо использовать фигурные скобки

Должно быть: $a_{11}$

[Unsleep]

Исправил!

собственно получается $a_{11}; a_{12}=8; a_{22}=56$

Дальше идет матрица 2 на 2.

$ \left( \begin{array}{cc}1-h & 8 \\ 8 & 56-h \end{array} \right)$

$(1-h)(56-h)-64=0 h^2-57h-8=0$

[Алексей К.]

У Вас получилось кв.ур. с вполне положительным дискриминантом, имеющее 2 действительных решения.
То, что квадратные корни не извлекаются "красиво" --- нестрашно.
Для учебных задач --- нетипично, проверьте условие. А так вроде всё нормально.
(Кроме того, что вспоминать забытое мне пришлось самому, никто не "кинулся"... )

[Unsleep]

Алексей К. писал(а):

У Вас получилось кв.ур. с вполне положительным дискриминантом, имеющее 2 действительных решения.
То, что квадратные корни не извлекаются "красиво" --- нестрашно.
Для учебных задач --- нетипично, проверьте условие. А так вроде всё нормально.
(Кроме того, что вспоминать забытое мне пришлось самому, никто не "кинулся"... )

Ясно, спасибо, насчет первого ничего не знаете, как его привести к диаг. виду? И вообще можно ли это сделать не находя невыражденное линейное преборазование?

[Алексей К.]

а ещё

$$x_1^2+16 x_1 x_2 +56 x_2^2=x_1^2+2\cdot8\cdot x_1 x_2 +64 x_2^2 - 8 x_2^2=(\underbrace{x_1+8x_2}_{y_1})^2-(\underbrace{2\sqrt{2}x_2}_{y_2})^2$$

.

[Unsleep]

Алексей К. писал(а):

а ещё

$$x_1^2+16 x_1 x_2 +56 x_2^2=x_1^2+2\cdot8\cdot x_1 x_2 +64 x_2^2 - 8 x_2^2=(\underbrace{x_1+8x_2}_{y_1})^2-(\underbrace{2\sqrt{2}x_2}_{y_2})^2$$

.

Неплохо

[Алексей К.]

А я пока распечатал главку из учебника и пойду с ней в кофейню вспоминать, чем отличается просто диагональная от канонической. Не есть ли последнее то, что мне известно как приведение к главным осям, т.е. чисто повороты-переносы? Пойду в надежде, что кто-то встрянет и напишет как положено писать на уроках и в контрольных...

Добавлено спустя 3 минуты 18 секунд:

А Вам тем временем ничего не стоит применить столь высоко оценённый Вами приёмчик к первой задачке.

Добавлено спустя 1 минуту 35 секунд:

О, поймал начальник и пригрозил пальчиком квадратичной форме...

[Бодигрим]

Если я правильно помню, то каноническая - это та, в которой на диагонали только 0 и $\pm1$. Тогда задача решается в два этапа. Первым преобразованием приводим обе формы к диагональному виду. Вторым - одну из них к каноническому (вторая останется диагональной).

Со вторым этапом трудностей быть не должно вроде. Первый этап "на коленке" можно сделать в лоб.

Положим $y_1=x_1+\alpha x_2$, $y_2=x_1+\beta x_2$ и подберем коэффициенты $\alpha,\beta$ так, чтобы при некоторых $a,b,c,d$ удовлетворялись тождества $ay_1^2+by_2^2 = x_1^2+26x_2^2+10x_1x_2$ и $cy_1^2+dy_2^2 = x_1^2+56x_2^2+16x_1x_2$. Приравняем коэффициенты при подобных:

$a+b=1$
$a\alpha + b\beta = 5$
$a\alpha^2+b\beta^2=26$
$c+d=1$
$c\alpha + d\beta = 8$
$c\alpha^2+d\beta^2=56$

Подставим $b=1-a$ и $d=1-c$ в остальные уравнения:

$a(\alpha-\beta)+\beta=5$
$a(\alpha^2-\beta^2)+\beta=26$
$c(\alpha-\beta)+\beta=8$
$c(\alpha^2-\beta^2)+\beta=56$

Вычтем первое из третьего и второе из четвертого:

$(c-a)(\alpha-\beta)=3$
$(c-a)(\alpha-\beta)(\alpha+\beta)=30$

Отсюда $\alpha+\beta=10$. Возвращаясь к предыдущей системе, получим

$a(\alpha-\beta)+\beta=5$
$10a(\alpha-\beta)+\beta=26$
$c(\alpha-\beta)+\beta=8$
$10c(\alpha-\beta)+\beta=56$

Теперь вычтем первое из второго и третье из четвертого:

$9a(\alpha-\beta)=21$
$9c(\alpha-\beta)=48$

Отсюда $a(\alpha-\beta)=7/3$, а значит из $a(\alpha-\beta)+\beta=5$ получим $\beta=8/3$. Из $\alpha+\beta=10$ получим $\alpha=22/3$. Я нигде не ошибся?

[Really]

Если одна из форм положительно определена, то можно ввести при помощи
этой формы новое скалярное произведение. В этом скалярном произведении
привести вторую форму к главным осям. Поскольку это приведение есть переход
к ортонормированному базису, то первая форма будет иметь все коэффициенты
равными единице - это и будет ее канонической формой.

В данном случае одна из форм положительно определена. По методу Лагранжа
надо найти все решения уравнения $\det(A-\lambda B)=0$, где
$B$ - матрица определенной формы. Это и будут коэффициенты второй
квадратичной формы. У меня получилось

$$ 4\xi_1^2-2\xi_2^2 $$

Если сам базис не нужен, то это все. Решение сводится к отысканию определителя
2-го порядка и решению квадратного уравнения.