Школьный курс геометрии со строгим изложением

[Free_Student]

Уважаемые знатоки форума, помогите, пожалуйста с выбором учебника по школьному курсу геометрии.

Возникла необходимость помочь человеку разобраться с некоторыми задачами седьмого класса :) Задачи были решены, но после пролистывания начала учебника - с аксиоматикой - понял, что мало что понимаю.

Сам учился по Погорелову, однако значительная часть курса благополучно вылетела из памяти. Хотелось бы найти, сугубо для себя, некую книгу с более формализированным изложением, без всякого рода пропусков логических кусков или аксиоматики по причине "детям так понятнее будет". Например, в Погорелове равенство треугольников определялось через равенство сторон и углов, а в учебнике Мерзляк - через некое "наложение" фигур. Мне, честно говоря, ближе, так сказать "алгебраическое" определение Погорелова, чем неформализированное "наложение".

Если провести аналогию - в школе аксиоматическое построение множества вещественных чисел не используется, однако уже в вузе, у Фихтенгольца или Кудрявцева оно есть, т.е. вузовский курс матанализа вполне закрывает упрощения школьного курса алгебры. Но ни одна из математических наук моего вузовского курса, насколько я помню, не опирается и не дополняет школьный курс геометрии. А хотелось бы найти такую книгу, которая была бы по отношению к школьному курсу геометрии как Фихтенгольц по отношению к школьному курсу алгебры - полной, строгой и формализированной :)

[Brukvalub]

Free_Student в сообщении #1410524 писал(а):

А хотелось бы найти такую книгу, которая была бы по отношению к школьному курсу геометрии как Фихтенгольц по отношению к школьному курсу алгебры - полной, строгой и формализированной :)

Если руководствоваться этой аналогией, то подойдет даже справочник по породам собак, поскольку Фихтенгольц никакого отношения к "укреплению основ" школьной алгебры не имеет. Если же говорить по существу, то можно посмотреть, например, книги Понарина, в них геометрия изложена подробнее, чем в Погорелове. Хотя, как мне помнится, именно в Погорелове в конце учебника был большой раздел именно об аксиоматике геометрии. Также неплох фундаментальный двухтомник Ж. Адамара. Кроме того, есть прекрасная монография Прасолова и Тихомирова "Геометрия".

[george66]

Очень советую почитать Энгелера "Метаматематика элементарной математики". Несмотря на страшное название, книга очень доходчивая. Ну, а так есть классика: Гильберт "Основания геометрии".

[vpb]

Free_Student в сообщении #1410524 писал(а):

Если провести аналогию - в школе аксиоматическое построение множества вещественных чисел не используется, однако уже в вузе, у Фихтенгольца или Кудрявцева оно есть, т.е. вузовский курс матанализа вполне закрывает упрощения школьного курса алгебры.

Тут надо заметить, что теория вещественных чисел в том виде, как она излагается в курсах матанализа --- это не "аксиоматическое обоснование". Это правильнее назвать "построение системы вещественных чисел" ... впрочем, не парьте мозги. И, строго говоря, она строится не вполне, т.к. в Фихтенгольце свойства рациональных чисел принимаются за данность, а на самом деле теория рациональных чисел может быть построена из более первичных посылок (аксиомы Пеано). И да, я вообще-то тоже не сразу понял, что имеется в виду под "закрывает упрощения школьного курса". (А коллега сейчас несколько потерял равновесие из-за тролля в соседней теме, не обращайте внимания).

Методические недостатки Погорелова --- для этого, как говорится, назначим отдельное заседание. (Я уже некоторое время собираюсь написать длиннопост на эту тему, надеюсь, в ближайшие несколько дней соберусь. Так что, что называется, следите за новостями. )
Отмечу, что sratch на эту тему на форуме уже как-то был.

Насчет литературы. Я, вообще говоря, не специалист, но есть такая классическая книга Н.В.Ефимов, Высшая геометрия. Вот там в первых главах вполне всё строго написано.

Free_Student в сообщении #1410524 писал(а):

Но ни одна из математических наук моего вузовского курса, насколько я помню, не опирается и не дополняет школьный курс геометрии.

А как же такая необходимейшая вещь, как аналитическая геометрия ? По моему, как раз очень опирается и дополняет ... В математическом смысле, а уж в методическом и подавно !

-- 15.08.2019, 16:36 --

Brukvalub в сообщении #1410532 писал(а):

Хотя, как мне помнится, именно в Погорелове в конце учебника был большой раздел именно об аксиоматике геометрии

Отнюдь. В Колмогорове есть, и в Атанасяне есть, а в Погорелове нет (в издании 1993, что у меня под рукой, точно нет).

[Munin]

Free_Student в сообщении #1410524 писал(а):

Например, в Погорелове равенство треугольников определялось через равенство сторон и углов, а в учебнике Мерзляк - через некое "наложение" фигур. Мне, честно говоря, ближе, так сказать "алгебраическое" определение Погорелова, чем неформализированное "наложение".

"Наложение", может быть, и неформализовано, однако другое слово - движение - есть вполне строгий термин.

vpb в сообщении #1410546 писал(а):

Отнюдь. В Колмогорове есть, и в Атанасяне есть, а в Погорелове нет (в издании 1993, что у меня под рукой, точно нет).

В Погорелове аксиомы вписаны в основной текст. Аксиомы планиметрии I-IX - в 7 класс, § 1, а аксиомы стереометрии С1-С3 - в 10 класс, § 15.

[Free_Student]

Большое спасибо всем откликнувшимся за советы, буду изучать предложенную литературу.

vpb в сообщении #1410546 писал(а):

И да, я вообще-то тоже не сразу понял, что имеется в виду под "закрывает упрощения школьного курса".

Наверное, моя формулировка не была удачной. Я изучал школьную алгебру по учебнику, в котором, например, было дано понятие определённого интеграла. Однако ни теоремы о существовании определённого интеграла исходя из предела разности сумм Дарбу, ни теоремы об интегрируемости определённой и непрерывной не некотором отрезке функции там не было. В курсе же математического анализа Кудрявцева понятие интеграла было рассмотрено заново. И те свойства, что были упомянуты в школьном учебнике, были доказаны строго. Это же касается предела, производной, непрерывности. Это я и имел в виду, когда писал про "закрытие упрощений".

vpb в сообщении #1410546 писал(а):

А как же такая необходимейшая вещь, как аналитическая геометрия ? По моему, как раз очень опирается и дополняет ...

Насколько я помню, теоремы школьной планиметрии там не передоказывались на некоем, более строгом базисе. Вспомнил авторов, по которым читал - Атанасян и Базылев. Полистал книгу - теорем школьного курса не нашёл :) Собственно, поэтому и возник вопрос по поиску книги.

[Pennywise]

Меня со школы аксиоматическое построение геометрии очень интересует и занимает. Учусь я на экономиста, поэтому много математики я не знаю и мои рекомендации, возможно, не будут особо ценными. Тем не менее, кое-какую литературу я искал, просматривал и по некоторым занимался/занимаюсь. Те книги, которые были наиболее полезными для меня, я перечисляю.

1) Расин "Лекции по геометрии". Самый толковый учебник, который я нашёл. Он довольно современный (2011 год) и написан для мат. школьников, поэтому, возможно, он понятнее всех остальных. Подавляющее большинство утверждений там доказывается. "В данном пособии, оставаясь на достаточно высоком уровне строгости, мы доводим изложение материала до того предела, начиная с которого можно использовать стандартные учебники геометрии для физико-математических классов." Кроме того, там подробно изложена теория преобразований плоскости. Идеальная книга.

2) Borceaux ''Geometric Trilogy''. Том 1, глава 8. Аксиоматика такая же как и у Расина (то есть, немного модифицированная аксиоматика Гильберта), просто более конспективное изложение материала и немного под другим углом. Сама книга очень интересная к тому же. Впрочем, второй и третий тома я уже понимаю с трудом. На английском.

3) Успенский "Что такое аксиоматический метод". Небольшая, но познавательная книга.

4) Ефимов "Высшая геометрия". Он какой-то занудный, в отличие в от 1) и 2). Зато там аксиомы для трёхмерного пространства, в 1) и 2) только аксиомы для планиметрии (впрочем, это небольшое дополнение) и есть глава "Исследование аксиом элементарной геометрии", в которой рассматривается материал, который в 1) и 2) представлен слабо.

Это книги по основаниям геометрии. По начальной планиметрии мне кажется, что после Расина ничего особо читать не нужно, надо "Планиметрию" Гордина решать, там большинство стандартных фактов даны в задачах. Там перед каждым параграфом дана краткая теория, то есть, определения и основные теоремы. Ну вот доказательства основных теорем в любом школьном учебнике можно посмотреть или самому попробовать доказать. Кстати, на сайте ИПС "Задачи по геометрии" есть листки Гордина для 57-й школы. Там есть несколько задач, которых нет в его задачнике (просто такие темы не рассматриваются в стандартном школьном курсе: инверсия, степень точки относительно окружности).
По стереометрии только учебник Калинина и Терёшина.
Книги Понарина и Прасолова — это уже продвинутый уровень. А говорят, что элементарная геометрия не особо-то и нужна, поэтому эти книги, наверное, только для тех, кто без элементарной геометрии не может.

[vpb]

Free_Student в сообщении #1410563 писал(а):

Я изучал школьную алгебру по учебнику, в котором, например, было дано понятие определённого интеграла.

Этот учебник называется "Алгебра и начала анализа". И Вы, собственно, имели ввиду более строгое изложение именно начал анализа, а сказали "алгебры". Поэтому Вас и не поняли. Собственно, в школьном учебнике изложение производной, интеграла, предела --- не изложение, а лишь самые-самые зачатки. Т.е. тут говорить о "более строгом" изложении в университетском курсе не приходится, потому что в школе его почти что и нет.

-- 15.08.2019, 19:47 --

Free_Student в сообщении #1410563 писал(а):

там не передоказывались на некоем, более строгом базисе

А строгое изложение основ школьной геометрии в университетский курс вообще не входит, ибо это дело не такое уж простое, а будущим математикам надо многими другими вещами, еще более сложными, заниматься. Оно отчасти может входить в программу пединститута, кстати.

-- 15.08.2019, 19:50 --

И потом, при изложении аналитической геометрии школьная уже считается известной, а аналитическая излагается, как раз, на базисе школьной.

[beroal]

Я не специалист, но не лучше ли построить геометрию на линейной алгебре и анализе? Можно начать с аксиом векторного пространства, они всё-таки красивее, чем аксиоматика Эвклида — Гильберта.

[Munin]

beroal в сообщении #1410936 писал(а):

Можно начать с аксиом векторного пространства

Со скалярным произведением или с евклидовой метрикой / нормой.

[Mathgames]

Видел на форуме несколько таких тем как эта. Насколько я понимаю время от времени возникает запрос на книгу по геометрии, которая с одной стороны была бы в рамках школьной программы, а с другой имела бы строгое изложение, характерное для вузовских учебников. Сам давно искал такую книгу, но не нашёл. Ближе всего старый учебник Погорелова

Погорелов А. В. Элементарная геометрия. Изд. 3-е, доп. – М.: Наука, 1977.

Но в нём достаточно много прорех и в доказательствах, и в изложении вводных параграфов. Когда я его читал, то попытался для себя расписать аксиоматику Погорелова максимально подробно без логических пробелов. Получился вот этот текст, возможно заинтересует: https://8fed5f9b-2780-4695-80b0-1ddf935d962e.filesusr.com/ugd/4f9709_fef6485690e24141b0457d1be4cf3307.pdf

Он же в максимально конспективной форме, только математическое содержание без пояснений (ещё будет дополняться): https://8fed5f9b-2780-4695-80b0-1ddf935d962e.filesusr.com/ugd/4f9709_dbc43547ffeb4e6392148ebd2a23469a.pdf?index=true

[ewert]

beroal в сообщении #1410936 писал(а):

, но не лучше ли построить геометрию на линейной алгебре и анализе? Можно начать с аксиом векторного пространства, они всё-таки красивее, чем аксиоматика Эвклида — Гильберта.

-- не лучше. Гораздо хуже. Поскольку школьная геометрия всё-таки вполне интуитивна (независимо от аксиом). В отличие от.

[beroal]

ewert в сообщении #1426280 писал(а):

beroal в сообщении #1410936 писал(а):

, но не лучше ли построить геометрию на линейной алгебре и анализе? Можно начать с аксиом векторного пространства, они всё-таки красивее, чем аксиоматика Эвклида — Гильберта.

-- не лучше. Гораздо хуже. Поскольку школьная геометрия всё-таки вполне интуитивна (независимо от аксиом). В отличие от.

Вы утверждаете, что аксиомы векторного пространства не интуитивны?

[Munin]

ewert
Что педагогически лучше: опираться на интуицию детского сада, или развивать в учениках новую интуицию?

[vpb]

beroal в сообщении #1426285 писал(а):

Вы утверждаете, что аксиомы векторного пространства не интуитивны?

Чтоб была интуиция по какому-то вопросу, нужно знать примеры. Самый главный пример векторного пространства --- геометрические векторы. А чтоб понять, что такое векторы, надо знать как минимум свойства параллелограмма, и вообще основы классической школьной геометрии.

-- 16.11.2019, 20:48 --

Mathgames
Сейчас ваш текст почитаем ...