Многомерная теорема Пифагора

[DrVirogov]

Сначала напомним необходимые определения.

Прямоугольный $n$-мерный симплекс - это симплекс, имеющий
прямой угол, т.е. вершину, все одномерные рёбра исходящие из которой попарно ортогональны.

$k$-мерный катет - это симплекс, натянутый на $k+1$ вершину данного прямоугольного симплекса, одна из которых - прямой угол.

$k$-мерная гипотенуза - это симплекс, натянутый на $k+1$ вершину данного прямоугольного симплекса, не содержащий прямого угла.

Многомерная теорема Пифагора формулируется так:

Для $0\leqslant k \leqslant n$ сумма квадратов $k$-мерных гипотенуз равна $(n-k)$ кратной сумме квадратов
$k$-мерных катетов.

Что и предлагается доказать.

[Munin]

https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Binet_formula#Geometric_interpretations пользоваться можно? ;-)

[DeBill]

DrVirogov
Какая красивая штучка!
Для $k=n-1$:
Рассмотрим единичную нормаль к "гипотенузе". Ее компоненты - косинусы "двугранных" углов меж гипотенузой и "катетами". При пректировании грани, ее площадь умножается как раз на этот косинус. Но сумма квадратов косинусов равна квадрату нормали (т.е., единичке; обычная теорема Пифагора). Поэтому квадрат "гипотенузы" равен сумме квадратов "катетов".
Общий случай: применим уже полученное к каждой "гипотенузе". Посмотрим, сколько раз будет задействован каждый из "катетов": у него $k+1$ вершина, одна из которых - "прямой угол" (и $k$ других). Заменим "прямую" вершину на любую из незадействованных непрямых: это можно сделать как раз $n-k$ способами. Получилось!

-- 10.08.2019, 08:50 --

(Оффтоп)

А для $k=n-1$ еще можно так: заделаем грани "треугольника" прочными стенками, и закачаем под давлением внутрь газ. Газ давит на стенки пердикулярно, с силой, пропорциональной площади стенки. Если б сумма сил была не равна нулю, мы бы получили вечный двигатель! Значит, нулю равна, так что "гипотенузная" сила равна (с минусом) сумме "катетных" сил. Но они ("катетные") попарно ортогональны. Значит, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов - по стандартной теореме Пифагора.