Критерий Коши сходимости функции

[Nickname1101]

Здравствуйте. Проверьте пожалуйста мое доказательство критерия Коши сходимости функции. Все ли верно?
Определение 1. Колебанием функции $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$ на множестве $E\subset X$ называется величина $\omega (f; E) := \sup\limits_{x_1,x_2\in E}|f(x_1) - f(x_2)|$ т.е. верхняя грань множества модулей разности значений функции на всевозможных парах точек $x_1,x_2\in E$.
Определение 2. Колебанием функции $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$ в точке $a \in \overline{\mathbb{R}}$, предельной для $X$, называется величина $\omega (f; a) := \lim\limits_{\delta \to 0}^{}\omega (f; [\dot{V}_{\delta}(a) \cap X])$
Лемма 1.$\forall E, E': E \subset E' \subset X \subset \mathbb{R}\to \omega (f; E)\leqslant \omega (f; E')$
Лемма 2. Если $\varnothing\ne E \subset X \subset \mathbb{R}$ и $f(E)$ ограничено, то $\omega(f; E) = \sup f(E) - \inf f(E)$
Теорема.(критерий Коши существования предела функции) Для того, чтобы функция $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$ имела предел $A\in\mathbb{R}$ в точке $a \in \overline{\mathbb{R}}$, предельной для $X$, необходимо и достаточно чтобы колебание функции $f$ в точке $a$ равнялось нулю.
Доказательство:
Необходимость: $(\exists A \in \mathbb{R}) A = \lim\limits_{x\to a} f \Rightarrow \omega (f; a) = 0$
1. $\forall\varepsilon > 0 \exists \delta(\varepsilon)>0$ такая, что $\varnothing \ne f(\dot{V}_{\delta(\varepsilon)}(a)) \subset U_\varepsilon(A)\subset\mathbb{R} $\Rightarrow \inf U_\varepsilon(A)\leqslant \inf f(\dot{V}_{\delta(\varepsilon)}(a)) \leqslant \sup f(\dot{V}_{\delta(\varepsilon)}(a)) \leqslant \sup U_\varepsilon(A)$\Rightarrow$$
$\Rightarrow \omega (f;\dot{V}_{\delta(\varepsilon)}(a)) = \sup f(\dot{V}_{\delta(\varepsilon)}(a)) - \inf f(\dot{V}_{\delta(\varepsilon)}(a)) $\leqslant \sup U_\varepsilon(A) - \inf U_\varepsilon(A) = 2\varepsilon$
2. Таким образом, $\forall\varepsilon>0$ $\exists \delta(\varepsilon) > 0$ такая, что $0\leqslant \omega (f;[\dot{V}_{\delta(\varepsilon)}(a)\cap X])\leqslant 2\varepsilon$. Учитывая, что по Лемме 1
$\forall 0<\delta<\delta(\varepsilon) \Rightarrow \varnothing \ne [\dot{V}_{\delta}(a)\cap X] \subset [\dot{V}_{\delta(\varepsilon)}(a)\cap X]\subset X $\Rightarrow 0\leqslant \omega (f;[\dot{V}_{\delta}(a)\cap X]) \leqslant \omega (f;[\dot{V}_{\delta(\varepsilon)}(a)\cap X]) \leqslant 2\varepsilon$, а это означает, что $\omega (f; a) = 0$, что и требовалось доказать.
Достаточность: $\omega (f; a) = 0 \Rightarrow (\exists A \in \mathbb{R}) A = \lim\limits_{x\to a} f$
1. $\exists\delta_0>0$ такая, что $\omega (f;[\dot{V}_{\delta_0}(a)\cap X])\in\mathbb{R} \Rightarrow f(\dot{V}_{\delta_0}(a))$ - ограниченное непустое подмножество вещественных чисел $\Rightarrow \exists i, s: i=\inf f(\dot{V}_{\delta_0}(a))\in \mathbb{R}, s = \sup f(\dot{V}_{\delta_0}(a))\in \mathbb{R}$, причем $i \leqslant s$ $\Rightarrow
$\Rightarrow f(\dot{V}_{\delta_0}(a))\subset [i; s]$
2. На промежутке $(0; \delta_0]$ рассмотрим две функции:
$i(\delta) := \inf f(\dot{V}_{\delta}(a))$
$s(\delta) := \sup f(\dot{V}_{\delta}(a))$
Обе функции на всей области определения принимают вещественные значения.
3. $0< \delta_2 < \delta_1 \leqslant \delta_0 \Rightarrow \varnothing\ne\dot{V}_{\delta_2}(a) \subset \dot{V}_{\delta_1}(a)$ $\Rightarrow \varnothing\ne f(\dot{V}_{\delta_2}(a))\subset f(\dot{V}_{\delta_1}(a))$ $\Rightarrow [i(\delta_1) \leqslant i(\delta_2) \leqslant s(\delta_2) \leqslant s(\delta_1)]$. Таким образом, получается, что функция $i(\delta)$ убывает на $(0; \delta_0]$, а функция $s(\delta)$ возрастает на $(0; \delta_0]$. По теореме о монотонной функции $\exists c = \lim\limits_{\delta\to 0}i(\delta)$ и $\exists c' = \lim\limits_{\delta\to 0}s(\delta)$. Из $(\forall 0< \delta \leqslant \delta_0) i(\delta)\leqslant s(\delta)$ следует, что $c\leqslant c'$.
4. Если бы выполнялось неравенство $c < c'$, то $\forall 0< \delta \leqslant \delta_0 $ выполнялось бы $\omega (f;[\dot{V}_{\delta}(a)\cap X]) = \sup f(\dot{V}_{\delta}(a)) - \inf f(\dot{V}_{\delta}(a)) \geqslant c' - c$, что несовместимо с тем, что $\omega (f; a) = 0$. Следовательно, $c = c'$.
5. Докажем, что $c = A$. Выберем произвольный $\varepsilon > 0$. Тогда $\exists 0 < \delta' \leqslant \delta_0$ и $\exists 0 < \delta'' \leqslant \delta_0$ такие, что $i(\delta') > c - \varepsilon$ и $s(\delta'') < c + \varepsilon$. Положим $\delta(\varepsilon) = \min\{\delta'; \delta''\}$. Получим, что $f(\dot{V}_{\delta(\varepsilon)}(a)) \subset U_\varepsilon(A)$. Ввиду произвольности выбора $\varepsilon$ это означает, что $A = \lim\limits_{x\to a} f$, что и требовалось доказать.

[Connector]

(Оффтоп)

А можно доказать достаточность как-нибудь по-другому, попроще? У меня следующий план.
В том случае, когда $f(\dot{V}(a))$ ограничено, колебание функции на окрестности $\dot{V}(a)$ точки $a$ есть не что иное, как диаметр наименьшей окрестности, содержащей $f(\dot{V}(a))$ (или длина наименьшего отрезка, удовлетворяющего этому условию), так?
Рассмотрим последовательность вложенных окрестностей точки $a$, диаметр которых стремится к нулю. Для каждой возьмем наименьший отрезок, включающий её образ при $f$. Получаем последовательность вложенных отрезков, которые должны иметь одну и только одну общую точку. Эта точка и должна быть пределом функции $f$ в точке $a$, что нетрудно показать, рассматривая последовательности $\dot{V}(a)$ и $f(\dot{V}(a))$...

Возможно ли доказать теорему, следуя этому плану? Заодно предлагаю ответить уже на вопрос ТС.

[Nickname1101]

Connector
Ваше сообщение напрямую относится к рассматриваемой теме. Не обязательно было помещать его в оффтоп.

Connector в сообщении #1409437 писал(а):

В том случае, когда $f(\dot{V}(a))$ ограничено, колебание функции на окрестности $\dot{V}(a)$ точки $a$ есть не что иное, как...

Под "колебанием функции на окрестности $\dot{V}(a)$" Вы видимо подразумеваете колебание функции на множестве $X\cap \dot{V}(a)$, где $X$ - область определения функции.

(Оффтоп)

Забавно. Именно об этом я писал в п.2 стартового сообщения в теме topic135960.html (и в некоторых последующих). Вы мне наглядно показали, что "колебание функции на окрестности" кажется логичным не только для меня. Но то такое...

Почему Вы ограничиваетесь рассмотрением колебаний функции только на "проколотых окрестностях точки $a$"? Предлагаю рассмотреть функцию $f(x) = 3 - \frac{2}{x}$, определенную на промежутке $[\frac{2}{3}; +\infty)$. Как Вы предлагаете рассматривать колебание этой функции, например, на промежутке $[5; +\infty)$? Какую бы проколотую окрестность точки $a$ вы бы ни взяли, $X\cap \dot{V}(a)$ не будет совпадать с промежутком $[5; +\infty)$. Не сочтите, что я пытаюсь "придраться" к Вашим словам. Идею Вашего доказательства я прекрасно понял. Но прежде чем мы его рассмотрим, укажите недвусмысленно, какими определениями Вы пользуетесь: теми, которые я продемонстрировал в стартовом сообщении или другими. Во втором случае, сформулируйте их строго. Это я все к тому, что мне не очень понятно как трактовать Вашу фразу "колебание функции... есть не что иное как...".

[Connector]

Nickname1101 в сообщении #1409487 писал(а):

Ваше сообщение напрямую относится к рассматриваемой теме. Не обязательно было помещать его в оффтоп.

Я сделал так потому что вместо того, чтобы обсуждать Ваше доказательство, я стал предлагать свое. Это и был оффтопик.

Nickname1101 в сообщении #1409487 писал(а):

Под "колебанием функции на окрестности $\dot{V}(a)$" Вы видимо подразумеваете колебание функции на множестве $X\cap \dot{V}(a)$, где $X$ - область определения функции.

Да, я это имел в виду.

Nickname1101 в сообщении #1409487 писал(а):

укажите недвусмысленно, какими определениями Вы пользуетесь: теми, которые я продемонстрировал в стартовом сообщении или другими. Во втором случае, сформулируйте их строго. Это я все к тому, что мне не очень понятно как трактовать Вашу фразу "колебание функции... есть не что иное как...".

Теми, которые были продемонстрированы в стартовом посте. Моя фраза означала, что применяя определение колебания функции на множестве (в том общем виде, в каком Вы его дали) к случаю проколотой окрестности $X \cap \dot{V}(a)$, мы получаем диаметр множества $ f(X \cap \dot{V}(a))$ (под диаметром здесь имею в виду верхнюю грань (точную верхнюю грань) множества расстояний между точками точечного множества).

Nickname1101 в сообщении #1409487 писал(а):

Почему Вы ограничиваетесь рассмотрением колебаний функции только на "проколотых окрестностях точки $a$"? Предлагаю рассмотреть функцию $f(x) = 3 - \frac{2}{x}$, определенную на промежутке $[\frac{2}{3}; +\infty)$. Как Вы предлагаете рассматривать колебание этой функции, например, на промежутке $[5; +\infty)$? Какую бы проколотую окрестность точки $a$ вы бы ни взяли, $X\cap \dot{V}(a)$ не будет совпадать с промежутком $[5; +\infty)$.

Рассматривать колебание предлагаю в соответствии с существующим определением. Я «ограничился рассмотрением колебаний функции на "проколотых окрестностях" » потому, что считал, что именно это понадобится мне в доказательстве. Я не предлагаю новых определений.

[Connector]

Впрочем, что мешало мне написать так:
Из определения 1 следует, что колебание функции $f: \mathbb{R} \supset X \to \mathbb{R}$ на множестве $E \subset X$ это диаметр множества $f(E)$.
Вместе с тем, это же есть и длина наименьшего отрезка $\mathbb{R}$, включающего $f(E)$ (если последнее ограничено).

[Nickname1101]

Connector в сообщении #1409514 писал(а):

Я не предлагаю новых определений.

Хорошо. В таком случае я постараюсь воспроизвести Ваше доказательство, а Вы меня поправите.
Достаточность:
1. Положим $s_n= \sup f(\dot{V}_{\delta_n}(a))$, $i_n= \inf f(\dot{V}_{\delta_n}(a))$.
2. $\exists\delta_1>0$ такая, что $\omega (f;[\dot{V}_{\delta_1}(a)\cap X])\in\mathbb{R} \Rightarrow f(\dot{V}_{\delta_1}(a))$ - ограниченное непустое подмножество вещественных чисел $\Rightarrow s_1, i_1 \in\mathbb{R}$, причем $i_1 \leqslant s_1$
3. Возьмем $0 < \delta_2 = \frac{\delta_1}{2} < \delta_1$. $\varnothing\ne \dot{V}_{\delta_2}(a) \subset \dot{V}_{\delta_1}(a)$ $\Rightarrow \varnothing\ne f(\dot{V}_{\delta_2}(a)) \subset f(\dot{V}_{\delta_1}(a))$ $\Rightarrow i_1\leqslant i_2 \leqslant s_2\leqslant s_1$
4. На $n$-ом шаге выберем $0 < \delta_n = \frac{\delta_{n-1}}{2} <...< \delta_1$. $\varnothing\ne \dot{V}_{\delta_n}(a) \subset \dot{V}_{\delta_{n-1}}(a) \subset...\subset \dot{V}_{\delta_1}(a)$ $\Rightarrow \varnothing\ne f(\dot{V}_{\delta_n}(a)) \subset f(\dot{V}_{\delta_{n-1}}(a))\subset...\subset f(\dot{V}_{\delta_1}(a))$ $\Rightarrow i_1\leqslant i_2\leqslant...\leqslant i_n \leqslant s_n \leqslant... \leqslant s_2\leqslant s_1$
5. Продолжая этот процесс для всех натуральных $n$ получим систему $[i_n; s_n]$ вложенных отрезков. Докажем, что длина отрезков с возрастанием $n$ стремится к нулю.
6. $(\forall\varepsilon > 0)$ $s_n - i_n = \omega (f; [\dot{V}_{\delta_n}(a) \cap X]) < \varepsilon$ лишь только $\delta_n < \delta(\varepsilon)$. Учитывая, что по заданной $\delta(\varepsilon)$ всегда можно подобрать $n\in\mathbb{N}$ такой, что $\delta_n < \delta(\varepsilon)$, то можно сделать вывод, что длина отрезков системы стремится к нулю.
7. По лемме о вложенных отрезках можно сделать вывод, что $(\exists! A \in \mathbb{R})$, принадлежащая всем отрезкам данной системы. Проверим, что эта точка действительно является пределом функции $f$ в точке $a$.
8. Выберем произвольную окрестность $U_\varepsilon(A)$ точки $A$. Тогда $\exists \delta_n > 0$ такая, что $f(\dot{V}_{\delta_n}(a)) \subset [i_n; s_n] \subset U_\varepsilon(A)$, что и означает, что $A = \lim\limits_{x\to a} f$.
Я правильно понял идею Вашего доказательства?

Connector в сообщении #1409555 писал(а):

Впрочем, что мешало мне написать так:
Из определения 1 следует, что колебание функции $f: \mathbb{R} \supset X \to \mathbb{R}$ на множестве $E \subset X$ это диаметр множества $f(E)$.
Вместе с тем, это же есть и длина наименьшего отрезка $\mathbb{R}$, включающего $f(E)$ (если последнее ограничено).

А это разве не тоже самое, что я написал в Лемме 2.?

[Connector]

Nickname1101 в сообщении #1409560 писал(а):

Я правильно понял идею Вашего доказательства?

Да! Думаю, мне даже нечего добавить.

Nickname1101 в сообщении #1409560 писал(а):

А это разве не тоже самое, что я написал в Лемме 2.? :-)

:oops: Моё упущение. Да, я «переоткрыл» Вашу Лемму 2. и совсем упустил это из виду. Когда правильно сформулировал свою мысль, это должно было стать очевидным.