Гармонические числа и площадь

[Бодигрим]

Это приближение получается не из $n\ln x$, а из сравнения асимптотики для гармонических чисел с выражением для асимптотики простых чисел.

Рассмотрим простое число $x$. Согласно асимптотическому закону распределения простых чисел его номер

$$n \sim {x\over\ln x}$$

. Тогда

$${x\over n}\sim \ln x $$

. C другой стороны

$$H_n = H\left({x\over\ln x}\right)\sim \ln x - \ln\ln x$$

. Ну и ясно, что $\ln\ln x = o(\ln x)$.

[e7e5]

Бодигрим писал(а):

Это приближение получается не из $n\ln x$, а из сравнения асимптотики для гармонических чисел с выражением для асимптотики простых чисел.

Приводится пример:
60 -е простое число = 281,
$281/60$=4,6833...
С другой стороны $H_60=$$4.6798$

В "Книге чисел" далее просто написано: "We know that the size of the nth prime is roughly n ln n, so another answer is "roughly ln n" "

О чем же толкуется в произведении "n ln n"? Понимаю - об оценке величины n-го простого? Откуда она берется?

[Бодигрим]

К чему вы привели численный пример? С ним кто-то дискутирует?

Теперь по поводу "We know that the size of the $n$-th prime is roughly $n \ln n$..." Да, а 2 is roughly 1. Дело в том, что когда математик хочет высказать математическое утверждение, он не говорит "roughly", он говорит "с точностью до чего-нибудь". А это чего-нибудь он записывает как о малое или о большое от чего-нибудь другого. Например, $H_n$ равно $\ln n$ с точностью $O(1)$.

Высказывание же, что $H_n$ is roughly $\ln n$ или size of the $n$-th prime is roughly $n \ln n$ не является математическим, поскольку термин "roughly" не является определенным. А значит подобное высказывание исключает содержательную математическую дискуссию.

[e7e5]

Бодигрим писал(а):

К чему вы привели численный пример? С ним кто-то дискутирует?

Высказывание же, что $H_n$ is roughly $\ln n$ или size of the $n$-th prime is roughly $n \ln n$ не является математическим, поскольку термин "roughly" не является определенным. А значит подобное высказывание исключает содержательную математическую дискуссию.

Мне непонятно, почему так считается ( поэтому привер пример и высказывние)
Видимо за этим что-то скрывается, автор знает, а я нет, и не понимаю автора...

[ewert]

e7e5 писал(а):

Видимо за этим что-то скрывается, автор знает, а я нет, и не понимаю автора...

а вот я не понимаю, ни кто аффтар, ни кто за оным скрывается, ни в чём ваще суть...

Ну да, есть несколько достаточно стандартных асимптотик, и вполне велика вероятность того, что методом научного тыка выбранные асимптотики вдруг нечаянно совпадут. Ну и што?...

[Бодигрим]

Скрывается за этим асимптотический закон распределения простых чисел:

$$\pi(x)\sim {x\over\ln x}$$

, где $\pi(x)$ - число простых чисел, не превышающих $x$. Я его уже приводил несколькими сообщениями выше.

Я бы рассуждал следующим образом: $\ln\pi(x)\sim \ln x - \ln\ln x \sim \ln x$. Подставляя это в асимптотический закон имеем $ \pi(x)\sim {x\over\ln\pi(x)} $, т. е. $x\sim \pi(x)\ln\pi(x)$.

[ewert]

да гонять туды-сюды логарифмы -- дело святое, конешно. Только при чём тут простыя числа?

[e7e5]

ewert писал(а):

e7e5 писал(а):

Видимо за этим что-то скрывается, автор знает, а я нет, и не понимаю автора...

а вот я не понимаю, ни кто аффтар, ни кто за оным скрывается, ни в чём ваще суть...

Ну да, есть несколько достаточно стандартных асимптотик, и вполне велика вероятность того, что методом научного тыка выбранные асимптотики вдруг нечаянно совпадут. Ну и што?...

Авторы книги "The Books of Numbers" математики John H. Conway и Richard K. Guy

Оказывается:

"Perhaps our mention of primes in the context you query is a bit of a red herring, but it enabled us to give a numerical example very easily. In fact, since the error term in the prime number theorem is comparatively large, this way of calculating the n-th harmonic number is not nearly as good as the real formula which we give immediately after.
For example, H_60 =
15117092380124150817026911/3230237388259077233637600
= 4.6798704129517378171888468, and
ln(60) + gamma + 1/120 = 4.6798935604569668787703142
( where gamma is Euler's constant,
0.5772156649015328606065120900824024310421593359399 )
and this is much closer than our ``n-th prime''
formula, 281/60 = 4.683333333..."