Теория групп. Множество коммутаторов группы перестановок

[ULTROZY]

Здравствуйте. Как доказать, что коммутант группы перестановок $S_n$, то бишь знакопеременная группа $A_n$, совпадает с порождающим его множеством коммутаторов?

То, что это так я на самом деле не уверен, так как я проверил это на мною написанной программе только для семи групп $S_1, \dots, S_7$, на них ответ положительный, на $S_8, \dots$ программа работает очень долго.

Теоретически я пробовал доказать по индукции, что

$\forall\pi\in A_n\quad\exists g,h\in S_n:\quad \pi=[g,h]$

Индукция по количеству пар транспозиций, либо трёхэлементных циклов из которых состоит $\pi\in A_n$. В первом варианте все элементы $S_n$ представлены в виде композиции транспозиций вида $(1,a),\; a\in\{2,\dots, n\}$, во втором варианте элементы $A_n$ представлены в виде композиции следующего вида циклов $(1,2,a),\;(2,1,a),\; a\in\{3,\dots, n\}$. В обоих случаях мне не удаётся доказать шаг индукции.

[vpb]

ULTROZY в сообщении #1407165 писал(а):

совпадает с порождающим его множеством коммутаторов?

Не вполне понятный смысл. Имеется в виду, наверное, что каждый элемент в $A_n$ является коммутатором некоторых двух элементов из $S_n$ ? (В произвольной группе коммутант, т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами, может и не совпадать с множеством коммутаторов (иначе говоря: всякий коммутатор лежит в коммутанте, но, вообще говоря, не всякий элемент коммутанта является коммутатором). )

[ULTROZY]

vpb в сообщении #1407331 писал(а):

Имеется в виду, наверное, что каждый элемент в $A_n$ является коммутатором некоторых двух элементов из $S_n$ ?

По-моему именно это я и написал. Я знаю, что множество коммутаторов не всегда совпадает с коммутантом. Но таких групп как-то мало, то есть я знаю только два примера конечных групп, чей коммутант не совпадает с множеством коммутаторов. Но, беря в рассмотрение симметрические группы, там же в каждой группе вплоть до $S_7$ всякая чётная перестановка является коммутатором.

[vpb]

ULTROZY в сообщении #1407391 писал(а):

По-моему именно это я и написал.

Нет. Если бы Вы написали

ULTROZY в сообщении #1407165 писал(а):

Как доказать, что коммутант группы перестановок $S_n$, то бишь знакопеременная группа $A_n$, совпадает с множеством всех коммутаторов?

тогда было бы правильно. Но это тут оффтоп, Вам оно не особо надо, и вообще замнем для ясности.

Есть такие полезные сведения.
1) Две подстановки сопряжены в симметрической группе тогда и только тогда, когда они имеют один цикленный тип.
(доказательство следует, например, из ван дер Варден, Алгебра, гл.2, параграф 9, задача 2. )

2) Элемент, сопряженнный с коммутатором (в произвольной группе), сам является коммутатором.

Предлагается для начала эти два факта освоить.

[ULTROZY]

vpb в сообщении #1407402 писал(а):

Предлагается для начала эти два факта освоить.

1) Первый факт следует из того, что сопряжение не меняет цикловой тип, но как бы переименовывает элементы в циклах. Подробное доказательство знаю из учебника Журавлёва.
2) Немного подумав, получил, что если $a = cbc^{-1}$ и $b = [g,h]$, то $a = [cgc^{-1},chc^{-1}]$

[ULTROZY]

Хоть и круг элементов для проверки на коммутатор сильно уменьшается, но задача по-моему от этого не облегчается

[vpb]

Вот несколько утверждений, оставляю Вам их доказать самостоятельно.
1) Таким образом, элемент $g\in A_n$ является коммутатором в $S_n$ тогда и только тогда, когда он представляется в виде $g=ab$, где $a$, $b$ имеют одинаковый цикловой тип.

2) Задачу достаточно решить в двух частных случаях: или (а) $g$ состоит из единственного цикла длины $k$, где $k$ нечетно, или (б) из двух циклов длин $k$ и $l$, оба четны. (Свести общее утверждение к этим двум случаям).

3) Случай (а), а равно (б) при $k=l$, делается легко.

4) Над случаем (б) с $k\ne l$ подумайте самостоятельно, в меру трудолюбия и изобретательности.

[ULTROZY]

vpb в сообщении #1407504 писал(а):

Вот несколько утверждений, оставляю Вам их доказать самостоятельно.

1) Для обозначения того, что $a,b\in S_n$ сопряжены используем обозначение отношения эквивалентности $a\sim b$. В ходе доказательства используется следующий факт: $\forall a\in S_n:\;a\sim a^{-1}$, так как в обратной перестановке элементы в каждом цикле записаны в обратном порядке, то и цикловой тип тот же.
Дано $g\in S_n$. Требуется доказать, что

$\{\exists p,q\in S_n:\;g=[p,q]\}$\iff\{\exists a,b\in S_n:\;a\sim b,\;g=ab\}

$\Rightarrow\quad g = pq(qp)^{-1}$. Возьмём $a = pq, b=(qp)^{-1}$ и покажем, что они сопряжены. Во-первых $c=qp=b^{-1}\sim b$. Во-вторых $\exists d = q^{-1}:\; a=dcd^{-1}=q^{-1}qpq=pq$, то есть $a\sim c$, и по свойству транзитивности $a\sim b$. Доказано.

$\Leftarrow\quad a\sim b\sim b^{-1}$, значит $\exists c\in S_n:\; a=cb^{-1}c^{-1}$, тогда $g = ab=cb^{-1}c^{-1}b=[c,b^{-1}]$, то есть $p = c,q=b^{-1}$. Доказано.

Если доказать импликацию $\{g\in A_n\}\implies\{\exists a,b\in S_n:\;a\sim b,\;g=ab\}$, то в силу предыдущего пункта будет доказана импликация $\{g\in A_n\}\implies\{\exists p,q\in S_n:\;g=[p,q]\}$, то есть требуемое утверждение.

2) Так как $g\in A_n$ - чётная, то он состоит некоторого количества циклов нечётной длины и чётного количества циклов чётной длины. Представим каждый цикл нечётной длины в виде композиции двух циклов одинаковой длины, каждый из которых переставляет только те элементы, которые переставляет исходный цикл. Также и с парой циклов чётной длины: представим её в виде композиции двух циклов одинаковой длины, каждый из которых переставляет только те элементы, которые переставляет пара исходных циклов. Так как необходимо представление $g=ab$, то каждый левый цикл войдёт в $a$, каждый правый - в $b$, так мы получим, что $a\sim b$.

Далее рассмотрены только перестановки определённого вида, но все остальные могут быть получены переименовыванием элементов, то есть $g$ меняется на ему сопряжённый, а если для $g$ будет доказана принадлежность ко множеству коммутаторов, то и для сопряжённого будет доказана в силу раннего утверждения.

3) Цикл нечётной длины $2k-1:\quad$
$\quad (1,2,\dots,2k-2,2k-1)=(1,2,\dots,k-1,k)\circ(k,k+1,\dots,2k-2,2k-1)$

Пара циклов одинаковой длины $k$: уже представлено в требуемом виде.

4) Пусть $\pi=(1,2,\dots,k-1,k)(k+1,k+2,\dots,l-1,l)$, где $k\equiv l\equiv0 (\mod 2),\;l-k>k\geq2$. Тогда $\pi=xy$, где $x$ и $y$ - циклы длины $l$;

$x=(1,k+1,2,k+2,3,k+3,\dots,k-1,2k-1,k,2k,2k+2,2k+4,2k+$ $6,\dots,l-2,l,l-1,l-3,l-5,\dots,2k+3,2k+1)$

$y=(1,k+1,2,k+2,3,k+3,\dots,k-1,2k-1,k,2k+1,2k,2k+3,2k+$ $2,2k+5,2k+4,\dots,l-6,l-3,l-4,l-1,l-2,l)$

Непосредственной проверкой можно доказать, что $\pi=xy$
1. $1\leq t\leq k-1\quad \pi(t)=x(y(t))=x(t+k)=t+k-k+1=t+1$
2. $t=k\quad\pi(k)=x(y(k))=x(2k+1)=1$
3. $k+1\leq t\leq 2k-1\quad \pi(t)=x(y(t))=x(t-k+1)=t-k+1+k=t+1$
4. $2k\leq t\leq l-1,\;t\neq l-2$
- a) $t\equiv 0(\mod 2)\quad \pi(t)=x(y(t))=x(t+3)=t+3-2=t+1$
- b) $t\equiv 1(\mod 2)\quad \pi(t)=x(y(t))=x(t-1)=t-1+2=t+1$
5. $t=l-2\quad\pi(l-2)=x(y(l-2))=x(l)=l-1$
6. $t=l\quad\pi(l)=x(y(l))=x(1)=k+1$


Всё доказано. Хотя я уверен, что в последнем пункте есть более простое разложение.

[vpb]

ULTROZY
Весьма похвально, весьма !

ULTROZY в сообщении #1408064 писал(а):

Хотя я уверен, что в последнем пункте есть более простое разложение.

Да и это хорошее. Анекдот есть.

Цитата:

Играли люди в преферанс. Один из игроков на мизере взял 4 взятки, инфаркт, труп. Похороны. В траурной процессии, где то в середине, идут два человека в задумчивом скорбном молчании.
--- А знаете, если бы Вы зашли в бубну, было бы шесть ...
--- Да ладно, и так хорошо.

[ULTROZY]

vpb
Спасибо Вам!

[bot]

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1408068 писал(а):

А знаете, если бы Вы зашли в бубну, было бы шесть ...

А если бы покойничек зашёл с пички, то было бы ещё хуже.

[vpb]

ULTROZY
Пожалуйста. Рад помочь.

(Оффтоп)

bot
Да уж... Универ, общага, преф... Дела давно минувших дней.