Неясный момент в доказательстве критерия Коши у Зорича

[MorozovBoris]

В первом томе Зорича приводится доказательство критерия Коши сходимости последовательности. Там говорится следующее: "Пусть теперь {$x_k$} — фундаментальная последовательность. По заданному $\varepsilon > 0$ найдем номер $N$ такой, что из $m \geqslant N$ и $k \geqslant N$ следует $|x_m - x_k| < \frac \varepsilon 3$. Фиксировав $m=N$, получаем, что при любом $k>N$

$$x_N - \frac \varepsilon 3 \leq x_k \leq x_N + \frac \varepsilon 3 (1).

"Для $n \in \mathbb{N} $ положим теперь $a_n := \inf \limits_{k \geq n} x_k $, $b_n := \sup \limits_{k \geq n} x_k$".
"...при $k \geq n$

$$a_n = \inf \limits_{k \geq n}\leq x_k \leq\sup\limits_{k \geq n} = b_n .

"Но из (1) следует, что при $n > N$

$$x_N - \frac \varepsilon 3 \leq \inf \limits_{k \geq n} = a_n \leq b_n = \sup \limits_{k \geq n} \leq x_N + \frac \varepsilon 3

Мой вопрос следующий: как из (1) следует последнее неравенство? Буду благодарен за помощь.

[SiberianSemion]

MorozovBoris в сообщении #1408657 писал(а):

Мой вопрос следующий: как из (1) следует последнее неравенство?

Можно исходить из определений $\sup$ и $\inf.$ Например, $\sup -$ наименьшая верхняя грань, а в вашем случае $x_N+\frac\varepsilon3 -$ верхняя грань. Аналогично с $\inf.$

[Nickname1101]

А не проще обойтись без (1)? Доказываем, что фундаментальная последовательность ограничена, т.е. $\exists m, M \in\mathbb{R}$ такие, что ($\forall n\in \mathbb{N}$) $m \leqslant x_{n} \leqslant M$. Далее полагаем для $k\in \mathbb{N}$ $a_{k} :=\underset{\limits_{n > k}}\inf x_{n}$ и $b_{k} :=\underset{\limits_{n > k}} \sup x_{n}$. Получаем $[a_{k}; b_{k}]$ - систему вложенных отрезков, доказываем, что длина отрезков при возрастании $k$ стремится к 0, значит существует единственная точка $A$, которая принадлежит всем этим отрезкам и далее проверяем, что эта точка $A$ действительно является пределом нашей фундаментальной последовательности.

[Otta]

Nickname1101 в сообщении #1408665 писал(а):

А не проще обойтись без (1)? Доказываем, что фундаментальная последовательность ограничена, т.е. $\exists m, M \in\mathbb{R}$ такие, что ($\forall n\in \mathbb{N}$) $m \leqslant x_{n} \leqslant M$. Далее полагаем для $k\in \mathbb{N}$ $a_{k} :=\underset{\limits_{n > k}}\inf x_{n}$ и $b_{k} :=\underset{\limits_{n > k}} \sup x_{n}$. Получаем $[a_{k}; b_{k}]$ - систему вложенных отрезков, доказываем, что длина отрезков при возрастании $k$ стремится к 0,

И для последнего понадобится (1). Это то же самое рассуждение, только другими словами.

[Nickname1101]

Otta в сообщении #1408668 писал(а):

И для последнего понадобится (1). Это то же самое рассуждение, только другими словами.

Да, согласен.

[MorozovBoris]

Спасибо за помощь!