2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 пример функции
Сообщение26.08.2008, 12:42 
Аватара пользователя
Здравствуйте. Помогите пожалуйста составить пример функции, дифференцируемой в точке, но в любой проколотой окрестности этой точки не являющейся непрерывной.

Подходит ли такая функция: \[
f(x) = \left\{ \begin{gathered}
  x^2 ,x \in Q \hfill \\
  0,x \notin Q \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.
\]

Добавлено спустя 22 минуты 16 секунд:

Ну действительно, \[
\forall \varepsilon  > 0{\text{ }}\exists \delta _\varepsilon   > 0:{\text{ }}\left| {x^2 } \right| < \varepsilon {\text{  }}\left| x \right| < \sqrt \varepsilon  : = \delta _\varepsilon  
\], следовательно, она непрерывна в точке x=0. Производная в точке х=0 существует:
\[
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x^2 }}
{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x = 0
\], следовательно эта функция дифференцируема в этой точке. А в остальных точках она разрывна.

 
 
 
 
Сообщение26.08.2008, 12:42 
Аватара пользователя
Подходит.

 
 
 
 
Сообщение26.08.2008, 12:47 
Аватара пользователя
Спасибо :) D В принципе если заместо x^2 написть просто х, то тоже подойдет.

 
 
 
 
Сообщение26.08.2008, 13:17 
Аватара пользователя
А она что, дифференцируема?

 
 
 
 
Сообщение26.08.2008, 13:25 
Аватара пользователя
И еще один вопрос. Нужно привести пример непрерывной нигде не монотонной функции. В книжке Гелбаума "Контрпримеры в анализе" сказано:
\[f_1 (x) = \left| x \right|{\text{, }}\left| x \right| \leqslant \frac{1}{2}\], продолжим ее периодически с периодом 1, т.е. положим \[f_1 (x + n) = f_1 (x)\]. Далее для n>1 положим \[
f_n (x) = 4^{ - n + 1} f\left( {4^{n - 1} x} \right)
\]. А разве \[
4^{ - n + 1} f_1 \left( {4^{n - 1} x} \right) \ne f_1 (x)
\]?

Добавлено спустя 2 минуты 23 секунды:

Henrylee писал(а):
А она что, дифференцируема?


\[
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}
{x} = 1
\]
Или я что-то здесь не так делаю?

 
 
 
 
Сообщение26.08.2008, 13:29 
Аватара пользователя
ShMaxG в сообщении #140813 писал(а):
Спасибо Smile D В принципе если заместо x^2 написть просто х, то тоже подойдет.
Нет, не подойдет :twisted:

 
 
 
 
Сообщение26.08.2008, 13:30 
Аватара пользователя
ShMaxG писал(а):
Далее для n>1 положим \[
f_n (x) = 4^{ - n + 1} f\left( {4^{n - 1} x} \right)
\].


Вероятно, имелось в виду

$$
f_n (x) = 4^{ - n + 1} f_{n-1}\left( {4^{n - 1} x} \right)
$$

ShMaxG писал(а):
А разве \[
4^{ - n + 1} f_1 \left( {4^{n - 1} x} \right) \ne f_1 (x)
\]?


Нет, конечно. К примеру, $f_1(3/2) = 1/2$ и при $n=2$ получается

$$
f_2(3/2) = f_1(6)/4 = 0 \neq f_1(3/2)
$$

 
 
 
 
Сообщение26.08.2008, 13:31 
Аватара пользователя
ShMaxG в сообщении #140820 писал(а):
А разве\[ 4^{ - n + 1} f_1 \left( {4^{n - 1} x} \right) \ne f_1 (x) \]?
Выписано верное неравенство.

 
 
 
 
Сообщение26.08.2008, 13:31 
Аватара пользователя
ShMaxG писал(а):
[/math]. А разве \[
4^{ - n + 1} f_1 \left( {4^{n - 1} x} \right) \ne f_1 (x)
\]?

$n=2,~x=1/2$ равенство не выполнено.


ShMaxG писал(а):
Henrylee писал(а):
А она что, дифференцируема?


\[
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}
{x} = 1
\]
Или я что-то здесь не так делаю?

Частичные пределы 0 и 1

 
 
 
 
Сообщение26.08.2008, 13:33 
Аватара пользователя
ShMaxG писал(а):
\[
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}
{x} = 1
\]
Или я что-то здесь не так делаю?


Конечно не так. Это у Вас в рациональных точках будет $x/x$, а в иррациональных будет $0/x$ :)

 
 
 
 
Сообщение26.08.2008, 14:13 
ShMaxG писал(а):
И еще один вопрос. Нужно привести пример непрерывной нигде не монотонной функции. В книжке Гелбаума "Контрпримеры в анализе" сказано:
\[f_1 (x) = \left| x \right|{\text{, }}\left| x \right| \leqslant \frac{1}{2}\], продолжим ее периодически с периодом 1, т.е. положим \[f_1 (x + n) = f_1 (x)\]. Далее для n>1 положим \[
f_n (x) = 4^{ - n + 1} f\left( {4^{n - 1} x} \right)
\].

Ну и потом, надо полагать, следует ещё просуммировать по всем натуральным эн. Получится классический (по слухам, Ван-дер-Варденовский) пример непрерывной и нигде не дифференцируемой функции.

(Для меня только всегда оставалось загадкой: зачем в показателях четвёрка, когда двойка естественнее?)

 
 
 
 
Сообщение26.08.2008, 17:23 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп
1) Не, выписано правильно, там потом функцию нужную определяют так:
\[
f(x) = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{f_1 (4^{n - 1} x)}}
{{4^{n - 1} }}} 
\]
2) Спасибо, неравенство верное, что-то меня глючит сегодня.
3) Спасибо, да, действительно, случай с х не подходит.

ewert
Да, совершенно верно.

Добавлено спустя 54 минуты 21 секунду:

Да, вот еще, в той же книжке делается одна оценка:

\[
\begin{gathered}
  (a = k \cdot 4^{ - m} ,k \in Z,m \in N) \Rightarrow (f_n (a) = 0,n > m) \Rightarrow (f(a) = f_1 (a) + ... + f_m (a)) \hfill \\
  (h_m  = 4^{ - 2m - 1} ) \Rightarrow (f_n (a + h_m ) = 0,n > 2m + 1) \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]

Ну так вот, почему:

\[
f(a + h_m ) - f(a) = [f_1 (a + h_m ) - f_1 (a)] + ... + [f_m (a + h_m ) - f_m (a)] + f_{m + 1} (a + h_m ) + ... + f_{2m + 1} (a + h_m ) \geqslant  - mh_m  + (m + 1)h_m  = h_m  > 0
\] ?

Добавлено спустя 1 час 39 минут 8 секунд:

А, кажется понял.

Максимальная по модулю разность, которая может быть, это \[h_m \]. А при \[k \geqslant m + 1\] \[
f_k \left( {a + h_m } \right) = f_k \left( {h_m } \right) = h_m 
\]

P.S. разобрал до конца, если кому интересно.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group