пример функции

[ShMaxG]

Здравствуйте. Помогите пожалуйста составить пример функции, дифференцируемой в точке, но в любой проколотой окрестности этой точки не являющейся непрерывной.

Подходит ли такая функция:

\[ f(x) = \left\{ \begin{gathered} x^2 ,x \in Q \hfill \\ 0,x \notin Q \hfill \\ \end{gathered} \right. \]

Добавлено спустя 22 минуты 16 секунд:

Ну действительно,

\[ \forall \varepsilon > 0{\text{ }}\exists \delta _\varepsilon > 0:{\text{ }}\left| {x^2 } \right| < \varepsilon {\text{ }}\left| x \right| < \sqrt \varepsilon : = \delta _\varepsilon \]

, следовательно, она непрерывна в точке x=0. Производная в точке х=0 существует:

\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x^2 }} {x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x = 0 \]

, следовательно эта функция дифференцируема в этой точке. А в остальных точках она разрывна.

[Brukvalub]

Подходит.

[ShMaxG]

Спасибо D В принципе если заместо x^2 написть просто х, то тоже подойдет.

[Henrylee]

А она что, дифференцируема?

[ShMaxG]

И еще один вопрос. Нужно привести пример непрерывной нигде не монотонной функции. В книжке Гелбаума "Контрпримеры в анализе" сказано:

\[f_1 (x) = \left| x \right|{\text{, }}\left| x \right| \leqslant \frac{1}{2}\]

, продолжим ее периодически с периодом 1, т.е. положим

\[f_1 (x + n) = f_1 (x)\]

. Далее для n>1 положим

\[ f_n (x) = 4^{ - n + 1} f\left( {4^{n - 1} x} \right) \]

. А разве

\[ 4^{ - n + 1} f_1 \left( {4^{n - 1} x} \right) \ne f_1 (x) \]

?

Добавлено спустя 2 минуты 23 секунды:

Henrylee писал(а):

А она что, дифференцируема?

\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x} {x} = 1 \]

Или я что-то здесь не так делаю?

[Brukvalub]

ShMaxG в сообщении #140813 писал(а):

Спасибо Smile D В принципе если заместо x^2 написть просто х, то тоже подойдет.

Нет, не подойдет

[Профессор Снэйп]

ShMaxG писал(а):

Далее для n>1 положим

\[ f_n (x) = 4^{ - n + 1} f\left( {4^{n - 1} x} \right) \]

.

Вероятно, имелось в виду

$$ f_n (x) = 4^{ - n + 1} f_{n-1}\left( {4^{n - 1} x} \right) $$

ShMaxG писал(а):

А разве

\[ 4^{ - n + 1} f_1 \left( {4^{n - 1} x} \right) \ne f_1 (x) \]

?

Нет, конечно. К примеру, $f_1(3/2) = 1/2$ и при $n=2$ получается

$$ f_2(3/2) = f_1(6)/4 = 0 \neq f_1(3/2) $$

[Brukvalub]

ShMaxG в сообщении #140820 писал(а):

А разве

\[ 4^{ - n + 1} f_1 \left( {4^{n - 1} x} \right) \ne f_1 (x) \]

?

Выписано верное неравенство.

[Henrylee]

ShMaxG писал(а):

[/math]. А разве

\[ 4^{ - n + 1} f_1 \left( {4^{n - 1} x} \right) \ne f_1 (x) \]

?

$n=2,~x=1/2$ равенство не выполнено.

ShMaxG писал(а):

Henrylee писал(а):

А она что, дифференцируема?

\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x} {x} = 1 \]

Или я что-то здесь не так делаю?

Частичные пределы 0 и 1

[Профессор Снэйп]

ShMaxG писал(а):

\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x} {x} = 1 \]

Или я что-то здесь не так делаю?

Конечно не так. Это у Вас в рациональных точках будет $x/x$, а в иррациональных будет $0/x$

[ewert]

ShMaxG писал(а):

И еще один вопрос. Нужно привести пример непрерывной нигде не монотонной функции. В книжке Гелбаума "Контрпримеры в анализе" сказано:

\[f_1 (x) = \left| x \right|{\text{, }}\left| x \right| \leqslant \frac{1}{2}\]

, продолжим ее периодически с периодом 1, т.е. положим

\[f_1 (x + n) = f_1 (x)\]

. Далее для n>1 положим

\[ f_n (x) = 4^{ - n + 1} f\left( {4^{n - 1} x} \right) \]

.

Ну и потом, надо полагать, следует ещё просуммировать по всем натуральным эн. Получится классический (по слухам, Ван-дер-Варденовский) пример непрерывной и нигде не дифференцируемой функции.

(Для меня только всегда оставалось загадкой: зачем в показателях четвёрка, когда двойка естественнее?)

[ShMaxG]

Профессор Снэйп
1) Не, выписано правильно, там потом функцию нужную определяют так:

\[ f(x) = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{{f_1 (4^{n - 1} x)}} {{4^{n - 1} }}} \]

2) Спасибо, неравенство верное, что-то меня глючит сегодня.
3) Спасибо, да, действительно, случай с х не подходит.

ewert
Да, совершенно верно.

Добавлено спустя 54 минуты 21 секунду:

Да, вот еще, в той же книжке делается одна оценка:

\[ \begin{gathered} (a = k \cdot 4^{ - m} ,k \in Z,m \in N) \Rightarrow (f_n (a) = 0,n > m) \Rightarrow (f(a) = f_1 (a) + ... + f_m (a)) \hfill \\ (h_m = 4^{ - 2m - 1} ) \Rightarrow (f_n (a + h_m ) = 0,n > 2m + 1) \hfill \\ \end{gathered} \]

Ну так вот, почему:

\[ f(a + h_m ) - f(a) = [f_1 (a + h_m ) - f_1 (a)] + ... + [f_m (a + h_m ) - f_m (a)] + f_{m + 1} (a + h_m ) + ... + f_{2m + 1} (a + h_m ) \geqslant - mh_m + (m + 1)h_m = h_m > 0 \]

?

Добавлено спустя 1 час 39 минут 8 секунд:

А, кажется понял.

Максимальная по модулю разность, которая может быть, это

\[h_m \]

. А при

\[k \geqslant m + 1\]

\[ f_k \left( {a + h_m } \right) = f_k \left( {h_m } \right) = h_m \]

P.S. разобрал до конца, если кому интересно.