Здравствуйте. Возник вопрос, касающийся формулировки и доказательства теоремы о пределе монотонной функции у Зорича.
Зорич писал(а):
Предположим, что числа (или символы
,
)
и
являются предельными точками множества
и
- монотонная функция на
. Имеет место следующая
Теорема 6 (критерий существования предела монотонной функции).
Для того чтобы неубывающая на множестве функция имела предел при , , необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху, а для того чтобы она имела предел при , , необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.◄ Докажем теорему для предела
.
Если этот предел существует, то, как и всякая функция, имеющая предел, функция
оказывается финально ограниченной при базе
.
Поскольку
- неубывающая на
функция, отсюда следует, что
ограничена сверху. На самом деле можно утверждать даже, что
для любого
. Это будет видно из дальнейшего.
Перейдем к доказательству существования предела
при условии ограниченности
сверху.
Если
ограничена сверху, то существует верхняя грань значений, которые функция принимает на множестве
. Пусть
; покажем, что
. По
, на основании определения верхней грани множества, найдем точку
, для которой
. Тогда ввиду неубывания
на
получаем, что при
будет
. Но множество
, очевидно, есть элемент базы
(ибо
). Таким образом, доказано, что
.
Для предела
все рассуждения аналогичны. В этом случае имеем
►
Я считаю, что утверждение
Зорич писал(а):
Пусть
; покажем, что
.
является ошибочным. Рассмотрим простейшую функцию
определенную на
. Функция является неубывающей на всей области определения, точка
является предельной для области определения функции
. Предел функции
в этой точке равен 5. Но
. То, что неубывающая ограниченная сверху функция будет иметь предел в точке
, предельной для
, это верно, но этот предел не обязан совпадать с
.
P.S. Понятно, что никакой глобальной проблемы в этом нету. При данных условиях нужно просто заменить
на
. Это ошибка у Зорича, или я просто неправильно понял текст в его книге?