линейные операторы

[zoo]

не то что б конечно сильно олимпиадная...
Задача.
Пусть $A(t),\quad t\in [0,1]$ непрерывное (в операторной топологии) семейство линейных компактных операторов $A(t):X\to X$ банахова пространства $X.$ Доказать, что оператор $\int_0^1A(s)ds:X\to X$ компактен.
(специально для ewert: условие непрерывности семейства, конечно, можно сильно ослабить)
(намек на бесконечномерную версию предыдущей задачи)

[Юстас]

Что-то не очень понятно, какой интеграл имеется ввиду. Уж точно не по мере Лебега.

[zoo]

Юстас писал(а):

Что-то не очень понятно, какой интеграл имеется ввиду. Уж точно не по мере Лебега.

Имеется ввиду интеграл Бохнера по стандартной мере Лебега на отрезке.

[Юстас]

Достаточно взять последовательность "ступенчатых" функций $T_n: \ [0,1]\to B(X,X)$, $T_n(s)=\sum_k A\left({\frac{k-1}{2^n}}\right)I\{\frac{k-1}{2^n},\frac{k}{2^n}\}(s)$, которые сходятся к $A(t)$ равномерно и, следовательно, в $L^{1}$, и вспомнить, что подпространство компактных операторов замкнуто.

[zoo]

Юстас писал(а):

Достаточно взять последовательность "ступенчатых" функций $T_n: \ [0,1]\to B(X,X)$, $T_n(s)=\sum_k A\left({\frac{k-1}{2^n}}\right)I\{\frac{k-1}{2^n},\frac{k}{2^n}\}(s)$, которые сходятся к $A(t)$ равномерно и, следовательно, в $L^{1}$, и вспомнить, что подпространство компактных операторов замкнуто.

ну да, а я как всегда усложняю жизнь, в смысле мое док-во сложнее