Линейные подпространства: какое шире?

[misha.physics]

Здравствуйте. Возник новый вопрос по книге "Ефимов, Розендорн. Линейная алгебра и многомногомерная геометрия (2004)". В конце $\S12$ говорится, что каждое из перечисленных выше подпространств сосодержится в предыдущем, вот они:

(скрин)

Я допускаю возможность оговорки, но с другой стороны лучше уточню. Я понимаю так:

ж) содержится в е)
е) содержится в д)
д) не содержится в г)
г) не содержится в в)
в) не содержится в б)
б) не содержится в а)

Там, где я пишу "не содержится" следует добавить "вообще говоря". Правильно?

[Mikhail_K]

misha.physics в сообщении #1407322 писал(а):

Я понимаю так:

ж) содержится в е)
е) содержится в д)
д) не содержится в г)
г) не содержится в в)
в) не содержится в б)
б) не содержится в а)

Там, где я пишу "не содержится" следует добавить "вообще говоря". Правильно?

Нет, неправильно.
Правильно в учебнике. То есть в каждом пункте "содержится". Во всех случаях.
А почему Вы думаете иначе, поясните?

[Munin]

Легко заметить, что, например, из свойства "б" следует свойство "а". А значит, любая функция, удовлетворяющая свойству "б", удовлетворяет и свойству "а". А значит, множество функций "б" $\subseteq$ множество функций "а". Кроме того, они суть линейные пространства с одинаковой структурой, значит, "б" есть подпространство "а".

[misha.physics]

Mikhail_K,

Mikhail_K в сообщении #1407329 писал(а):

А почему Вы думаете иначе, поясните?

Я думаю, что там, где я писал "x) не содержится в y)" должно быть наоборот, т.е. "y) содержится в x)", ниже объясняю.
Munin,

Munin в сообщении #1407344 писал(а):

Легко заметить, что, например, из свойства "б" следует свойство "а". А значит, любая функция, удовлетворяющая свойству "б", удовлетворяет и свойству "а". А значит, множество функций "б" $\subseteq$ множество функций "а".

Первые два предложения понятны, а в третьем по-моему должно быть наоборот. Ведь если у нас есть множество функций, непрерывных в интервале ("б"), то в этом множестве можно выделить множество функций, непрерывных в некоторой внутренной точке этого интервала ("а"). Значит а) подпространство б). Обратное утверджение я не могу доказать. По-моему, получается так, что послабление условий к множеству элементов выделяет в нем подмножество, как это иллюстрирует, например, утверждение, что "ж) содержится в е)". Если смотреть на скрин, то видно, что у нас сначала условия усиливаются а потом ослабляются, значит не получится, что каждое из перечисленных выше подпространств сосодержится в предыдущем. Вот если применить ваше утверждение к пунктам е) и ж), то по аналогии получится, что из е) следует ж), а значит, е) есть подпространство ж). А должно быть наоборот, как и есть в книге и тут мне понятно.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1407356 писал(а):

Ведь если у нас есть множество функций, непрерывных в интервале ("б"), то в этом множестве можно выделить множество функций, непрерывных в некоторой внутренной точке этого интервала ("а").

Нет, ровно наоборот. Если функция непрерывна на интервале $(\tau_1,\tau_2)$ ("б"), то это означает, что она непрерывна на каждой точке этого интервала. То есть, она непрерывна и в заданной точке $\tau_0\in(\tau_1,\tau_2).$ То есть, любая функция из множества "б" безусловно попадает и во множество "а". А обратное неверно: функция, непрерывная в $\tau_0,$ может не быть непрерывной в какой-то точке $\tau_3\in(\tau_1,\tau_2).$ Такая функция тоже попадёт в "а", но не попадёт в "б".

-- 27.07.2019 15:20:10 --

Вот у нас три множества:
к) множество всех котов;
л) множество всех котов, у которых правая передняя лапа - белая;
м) множество всех котов, у которых все лапы белые.
Расставьте знаки включения между этими множествами.

-- 27.07.2019 15:21:42 --

Против вашей интуиции может быть то, что накладывая больше условий, мы получаем меньшее множество. Но это просто так, к этому надо привыкнуть.

[misha.physics]

Munin, я понял, спасибо! (А я ещё вспомнил перед этим пример группы равностороннего треугольника с операциями поворота на углы кратные 120 градусов и отражениями относительно биссектрис, вспомнил, что там можно выделить абелевую подгруппу (коммутативную по поворотам) и думал, почему здесь, накладывая больше условия мы получаем подгруппу, а в случае с линейным пространством чтобы получить подпространство нам нужно ослабить условия. Оказывается и там и там одинаково.)

Понял причину путаницы. Легко показать на примере множеств "б" и "в". Я думал, что раз интервал входит в отрезок, то "б" входит в "в". А правильно думать так (спасибо, что научили меня этому): функции входящие в "в" входят и в "б", но функции входящие в "б" вообще говоря не обязательно входят в "в". Значит "в" подпространство "б".

"л" $\subseteq$ "м" $\subseteq$ "к".

-- 27 июл 2019, 16:01 --

misha.physics в сообщении #1407381 писал(а):

"л" $\subseteq$ "м" $\subseteq$ "к".

Ой, наоборот:
"м" $\subseteq$ "л" $\subseteq$ "к".

-- 27 июл 2019, 16:22 --

Здесь я снова начал рассуждать, что среди всех котов, у которых все лапы белые есть коты (все), у которых хотя бы одна лапа белая, но принял сначала неправильный вариант.

[Munin]

Окей, вроде, разобрались :-) Поначалу будете путаться, но если подумаете - то разберётесь правильно. А потом привыкнете :-)

[misha.physics]

Munin, спасибо. Просто это немного контринтуитивно было на первый взгляд. Хотя теперь понятно, что что-то с меньшим количеством налагаемых условий не может содержаться в чем-то с большим количеством условий, образно говоря.

-- 27 июл 2019, 16:47 --

И ещё уточнение о пункте "л". В такой формулировке как есть, нужно понимать "хотя бы одна лапа белая", а не "одна и только одна", как я понял.

[Munin]

Я специально уточнил, какая лапа белая. А про остальные ничего не сказано. Могут быть белые, а могут быть и нет.

[misha.physics]

В том же параграфе есть упражнение. Зафиксируем на отрезке $[t_1,t_2]$ произвольное множество точек $A$. Функции, равные нулю в точках этого множества, образуют подпространство. Требуется выяснить, как зависит размерность этого подпространства от выбора множества $A$.

Начало рассуждений. Рассмотрим отрезок $[-1,1]$, пусть множество $A$ состоит из точки ноль. Но в множество функций, которые равны нулю на этом множестве будут входить разные функции, например, вида $y=k\sin{x}$, $y=k|x|$, $y=kx^n$ где $k\in\mathbb{R}$, $n\in\mathbb{N}$. Дальше я не уверен, что нужно делать. Но думаю так, если скажем $n=5$, то размерность выше указанного подпространства будет $7$, т.е. можно выбрать базис $\{\sin{x},|x|,x,x^2,x^3,x^4,x^5\}$. Но я не вижу, какую роль здесь отыгрывает выбор множества $A$. Случай, когда все функции тождественно равны нулю на всем отрезке я не рассматривал.

[arseniiv]

Интересные вещи начнутся, если у $A$ есть предельная точка, например.

-- Сб июл 27, 2019 22:26:21 --

А там что, любые функции можно брать? Тогда всё как-то не очень радостно.

[misha.physics]

arseniiv,

arseniiv в сообщении #1407401 писал(а):

А там что, любые функции можно брать?

Я тоже об этом думал, но из контекста понять не могу. Хотя этот пункт ("з") и идет после пункта "ж" о многочленах, степени которых не превосходят $N$, я не вижу указания о том, что в упражнении нужно рассматривать только многочлены. Вот, для удобства скрин (надеюсь, я не злоупотребляю этим):

(screenshot)

Кстати, я не понял, в чем интерес предельной точки в $A$ в данном контексте.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1407397 писал(а):

Но в множество функций, которые равны нулю на этом множестве будут входить разные функции, например, вида $y=k\sin{x}$, $y=k|x|$, $y=kx^n$...

У вас, кажется, есть недопонимание, будто функции - это то, что можно записать формулами. На самом деле, функций намного больше, чем формул.

[misha.physics]

Munin,

Munin в сообщении #1407406 писал(а):

У вас, кажется, есть недопонимание

Вполне возможно. Я просто написал для примера несколько элементарных функций (правда не знаю, является ли фунция модуля элементарной) так, чтобы они были элементами линейного пространства, а о функциях, которые нельзя записать формулами я здесь как-то даже не думал.

-- 27 июл 2019, 21:16 --

Когда речь идет о функциях, которые нельзя записать формулами, я могу себе представить функцию, как соответствие, когда каждому элементу какого-то множества ставится в соответствие элемент из другого множества. Например, каждому человеку на Земле можно поставить в соответствие его полный возвраст (выражаемый целым числом - в годах) на данный момент. По-моему это будет примером таких функций. Но просто в упражнении говорилось об отрезке, вот я и исходил из того, что это отрезок числовой прямой и брал для примера функции одной переменной которые можно задать на этом отрезке посредством формулы.

[arseniiv]

Если они не накладывают ограничений, то в основном размерность будет бесконечная, но предлагается ли уточнять, какая именно бесконечная? И если $\mathcal A$ будет всем отрезком, размерность будет очевидно нулевой.