Составление линейное неоднородное д.у. первого порядка

[tpm01]

Есть задача, в которой требуется составить линейное неоднородное д.у. первого порядка если известны два частных решения.
$y_1=x$
$y_2=e^x$
И требуется найти решение с одним начальным условием (значение функции) $y(1)=-1$.
Как составить ЛДУ 2-го порядка через определитель, понятно, я это сделала, получилось $y''(x-1)-y'x+y=0$. Но это не то что нужно по заданию.
Если идти путем составления общего решения $y(x)=C_1\cdot y_1(x)+C_2\cdot y_2(x)$, то там две константы, а граничное условие всего одно. Подскажите пожалуйста, есть ли пример похожий или хотя бы с чего начинать. В сборнике задач Филиппова 1998г. нашла пример №716 стр. 83, но без решения...

[Someone]

Так Вам же нужно составить уравнение первого порядка, а Вы составили уравнение второго порядка. Чего же теперь удивляетесь, что начальных условий не хватает?

[arseniiv]

tpm01 в сообщении #1407256 писал(а):

Если идти путем составления общего решения $y(x)=C_1\cdot y_1(x)+C_2\cdot y_2(x)$, то там две константы

Можно сделать одну: $y = C_1(y_1 - y_2) + y_2$. При $C_1 = 1$ даст $y_1$, при $C_1 = 0$ даст $y_2$.

[arseniiv]

Да, прекрасно работает, я нашёл аннулирующий $e^x - x$ оператор и оттуда уравнение.

[tpm01]

Someone, я в курсе, что это не то что нужно по заданию, поэтому и спрашивала. В общем, вышла из ситуации таким образом, не знаю, правильно ли это:
беру общее решение:
$y(x)=C_1\cdot y_1(x)+C_2\cdot y_2(x)$
константы принимаю равными единице (по идее можно любые взять не нулевые) и для такой функции нахожу линейное неоднородное д.у. первого порядка:
$\left\lvert\begin{bmatrix} x+e^x & y\\ 1+e^x & y' \end{bmatrix}\right\rvert=y'(x)\cdot(x+e^x)-y(x)\cdot(e^x+1)=0$
Нахожу его решение:
$y(x)=C\cdot(x+e^x)$
ну, а дальше все ясно

Можно ли так делать?

arseniiv, спасибо, похоже, я пошла более сложным путем...

[Someone]

tpm01 в сообщении #1407339 писал(а):

Можно ли так делать?

Нельзя.

tpm01 в сообщении #1407339 писал(а):

беру общее решение:
$y(x)=C_1\cdot y_1(x)+C_2\cdot y_2(x)$

В общем решении уравнения первого порядка должна быть одна произвольная постоянная. Где-то в учебнике должны объясняться свойства решений линейных дифференциальных уравнений (однородных и неоднородных). Обычно для уравнения первого порядка этот вопрос рассматривается отдельно и, в частности, выписан вид общего решения для случая, когда известны два частных решения неоднородного уравнения. Посмотрите для начала в учебник.

[tpm01]

Someone, спасибо, посмотрела курс ДУ Степанова.
Тогда общее решение надо брать $y(x)=C_1\cdot(y_1(x)+y_2(x))$, в таком случае, если принять $C_1=1$, составить линейное неоднородное д.у. как я делала и решить его (то же самое получится) правильно? По заданию это ведь частные решения. Или это лишние действия и достаточно было граничное условие подставить (и так и так одинаковый ответ получается)?

[arseniiv]

tpm01 в сообщении #1407342 писал(а):

Тогда общее решение надо брать $y(x)=C_1\cdot(y_1(x)+y_2(x))$

Но ведь оно не даст частные $y_1$ и $y_2$ (даст только в случае если одна из функций нулевая).

Мой предлагаемый вид решения можно записать более симметрично: $Cy_1 + (1-C)y_2$. Видно, что это задаёт одномерное аффинное пространство, и только такими могут быть в общем случае решения линейного дифура первого порядка (притом от однородного потребуется ещё чтобы в это пространство входил тождественный ноль), так что мимо этого никак не пройти.

[tpm01]

arseniiv, огромное спасибо, и в курсе ДУ Степанова (стр. 36) аналогичное написано, что общее решение из двух частных будет $y=y_1+C\cdot(y_2-y_1)$ и вывод этой формулы. Теперь все стало понятно.