Вертикальное падение в метрике Шварцшильда

[sergey zhukov]

Какое собственное время требуется свободно падающим часам в пространстве Шварцшильда, чтобы достичь горизонта событий? Другими словами, какое время в пределе увидит внешний наблюдатель на часах, зависших на горизонте в процессе падения?

Исходя из уравнений произвольной орбиты в пространстве Шварцшильда, получается, что вертикальное падение (момент импульса $L=0$) описывается так:

$$\frac{dr}{d\tau}=\sqrt{\bigg(\frac{E^2}{m^2c^2}-c^2\bigg)+\frac{2MG}{r}}$$

С точки зрения вида функции это полный аналог закона падения для ньютоновой механики:

$$\frac{dr}{dt}=\sqrt{\bigg(\frac{2E}{m}\bigg)+\frac{2MG}{r}}$$

Т.е. с точки зрения внешнего наблюдателя падение свободных часов в черную дыру происходит в точности по закону Ньютона, только оно как будто записано на пленку и прокручивается все медленнее и медленнее.

Решим уравнения численно. Если взять черную дыру в миллион масс Солнца, то свободное падение до сингулярности ($r=0$) с высоты трех $r_s=\frac{2MG}{c^2}=$ 3 млн.км. с нулевой начальной скоростью (т.е. $(\frac{E^2}{m^2c^2}-c^2) =\frac{2MG}{3r_s}$) займет 83 сек собственного времени, а последние показания падающих часов на горизонте ($r=r_s$), которые в пределе увидит внешний наблюдатель - 75 сек.

Правильный ли это расчет? Не сами цифры, а использование формул.

[Утундрий]

Пусть пробное тело начинает свободно радиально падать со значения шварцшильдовой координаты $r=n r_g$. Тогда до сингулярности ему лететь $\frac{\pi }{2}n^{3/2} \frac{{r_g }}{c}$, а до горизонта ему лететь $\frac{1}{2}n^{3/2} \frac{{r_g }}{c}\left( {\pi + 2\frac{{\sqrt {n - 1} }}{n} - \arccos \left( {1 - \frac{2}{n}} \right)} \right)$. Для дыры с $r_g$ равным $3$ млн. км и $n=3$, получаем $81.6$ секунд и $74.1$ секунд соответственно.

[sergey zhukov]

Спасибо.

Вот еще какой вопрос. Допустим, мы наблюдаем падение тела в черную дыру издалека. На наш взгляд тело не только никогда не пересечет горизонт, но всегда еще остается шанс, что оно вернется обратно (допустим, у него есть двигатель и оно может задействовать его в любой момент). Т.е. для удаленного наблюдателя тела не пересекают горизонт дыры. И это не иллюзия: нет никакого способа убедится в том, что падающее тело уже под горизонтом, и, следовательно, мы уже наблюдаем лишь асимптотическое приближение его изображения к финальному моменту времени 75 сек и никак не дальше. Момент Х может отметить
только падающий в черную дыру наблюдатель, хотя он и не пересекает никакого горизонта. Только он точно знает, что после того, как его часы показали 75 сек, возвращение назад стало невозможно и он обречен. Удаленный наблюдатель ничего определенного про падающего никогда сказать не сможет. Таким образом, горизонт нельзя пересечь не только изнутри, но и снаружи. Тот, кто падает, не пересекает горизонт ни с собственной точки зрения, ни с точки зрения удаленного наблюдателя. Под горизонтом находится лишь та масса, вокруг которой он образовался изначально.
Так ли это?

[wrest]

sergey zhukov в сообщении #1406969 писал(а):

. Т.е. для удаленного наблюдателя тела не пересекают горизонт дыры.

ЕМНИП, пересекает, причем за конечное время внешнего наблюдателя.

[Утундрий]

Отвечу в стиле ТС... Рассуждениями тонкими, всеобъемлющими, витающими где-то на краю сознания. Медленно и торжественно разовью внутренне противоречивую мысль, разведя муть многозначительную и намеки на некий глобальный вывод анонсируя. Буду говорить и говорить пока пока внезапно из складки пространства-времени не выскочит "Таким Образом" и не заявит: Нет, не так!

[aa_dav]

sergey zhukov в сообщении #1406969 писал(а):

Т.е. для удаленного наблюдателя тела не пересекают горизонт дыры.

Скажем так - если пробное тело не обладает двигателями или есть полная уверенность, что оно ими не воспользуется, то для внешнего наблюдателя можно вычислить момент когда он точно будет уверен, что никакими силами не сможет вытащить пробное тело назад. Попытка приблизиться к нему чтобы вытащить будет заведомо невозможной.

[Emergency]

sergey zhukov в сообщении #1406969 писал(а):

Удаленный наблюдатель ничего определенного про падающего никогда сказать не сможет.

Удаленный наблюдатель может отметить момент, когда падающий наблюдатель исчез.
Во всяком случае, наблюдения ЛИГО показали именно это.

[Guvertod]

sergey zhukov в сообщении #1406969 писал(а):

И это не иллюзия: нет никакого способа убедится в том, что падающее тело уже под горизонтом

Это верно в том смысле, что если удаленный наблюдатель смотрит на световые сигналы от него, которые при приближении к горизонту идут от него все дольше и дольше, то никогда этого падения он не увидит.

sergey zhukov в сообщении #1406969 писал(а):

На наш взгляд тело не только никогда не пересечет горизонт

Если "на наш взгляд" = по времени $t$ из координат Шварцшильда, то это так.

sergey zhukov в сообщении #1406969 писал(а):

но всегда еще остается шанс, что оно вернется обратно (допустим, у него есть двигатель и оно может задействовать его в любой момент)

Но вот это ,как бы вам ни казалось, из двух предыдущих фактов никак не следует!

Дело в том, что координаты Шварцшильда не полностью покрывают все пространство-время. Они становятся не применимы на горизонте и нельзя рассуждать, что раз все тела имеют на горизонте бесконечное координатное время, то этого никогда не будет (и всегда можно предотвратить) .
Надо взять другую СК, посмотреть на ее линии "одновременности" (aka посмотреть просто на пространственноподобные линии) и убедиться, что все нормально. Варианты других СК (и некоторые другие рассуждения) вы найдете в учебниках.

Простой пример: на листе бумаге имеем обычную систему координат $x,y$ с центром в середине листа. Есть точки $A$ $(l,0)$ и $O$ $(0,0)$.
Перейдем теперь к координатам $x'=x^{-1}$ , $y'=y$. Пусть теперь из точки $A$ в $O$ ползет муравей. Тогда он должен из $x'=1/l$ доползти до $x'=\infty$.
Но никаких неявных трактовок тут не может быть: он спокойно доползет и дальше поползет, ведь это всего лишь неудачно выбранная СК.

[Emergency]

Guvertod в сообщении #1407025 писал(а):

удаленный наблюдатель смотрит на световые сигналы от него, которые при приближении к горизонту идут от него все дольше и дольше

А частота этих световых сигналов при этом не падает? Если сигналы были синие, то они при приближении к горизонту событий не покраснеют и не исчезнут, уйдя в инфракрасную область спектра?

[sergey zhukov]

aa_dav в сообщении #1406991 писал(а):

он точно будет уверен, что никакими силами не сможет вытащить пробное тело назад

Тогда это можно понимать так. Допустим, неподвижный наблюдатель выронил монету из точки $r_0$, которая падает в черную дыру по известному закону $r_m=r_m=(t)$ ($t$ - время неподвижного наблюдателя в $r_0$). Через некоторое время $t_a$ наблюдатель посылает луч света вслед за монетой. Луч распространяется вертикально вниз тоже по известной зависимости $r_c=r_c(t)$. Неподвижный наблюдатель может вычислить координаты пересечения $r_x$ и $t_x$ этих кривых в зависимости от $t_a$. При определенном $t_a$ пересечение попадает на горизонт $r_x=r_s$ и $t_x=\infty$. Это означает, что монета для наблюдателя стала недосягаема. Вот это $t_a$ и есть момент, когда монета пересекает горизонт для внешнего наблюдателя.
Для монеты

$$\frac{dr}{dt}=\sqrt{\bigg(\frac{E^2}{m^2c^2}-c^2\bigg)+\frac{2MG}{r}}\bigg(\frac{mc^2(1-\frac{rs}{r})}{E}\bigg)$$

Для света

$$\frac{dr}{dt}=c\bigg(\frac{1-\frac{r_s}{r}}{1-\frac{r_s}{r_0}}\bigg)$$

Для света я не уверен, что правильно получил эту формулу.

Тогда для черной дыры массой 1 солнечная и $r_0=4r_s$ можно получить, что $t_x=14$ мсек по часам наблюдателя, расположенного в $r_0$:

Правильно ли понимать это так?

Guvertod в сообщении #1407025 писал(а):

Но никаких неявных трактовок тут не может быть: он спокойно доползет и дальше поползет, ведь это всего лишь неудачно выбранная СК.

Да, это мне понятно. Непрерывному континууму присвоены координаты с разрывом.

Guvertod в сообщении #1407025 писал(а):

Но вот это ,как бы вам ни казалось, из двух предыдущих фактов никак не следует!

Кажется, ясно. Ракета может вернуться из падения через какой угодно долгий период времени по часам неподвижного наблюдателя. Если он видит, что падающая ракета включила двигатели (для простоты сколь угодно мощные), то она точно вернется, и это может произойти по часам неподвижного наблюдателя хоть через тысячу лет после начала падения ракеты. Это равносильно тому, что ракета включила двигатель до пересечения горизонта по своим часам. Но если она сделала это после пересечения горизонта по своим часам, то наблюдатель снаружи будет видеть, что ракета просто бесконечно собирается включить двигатель.

[aa_dav]

sergey zhukov в сообщении #1407032 писал(а):

Правильно ли понимать это так?

Насколько я знаю - да. Саму идею где то в другой теме пояснил Munin - что есть вполне себе конечное собственное время внешнего наблюдателя через которое он понимает что не сможет дотянуться до свободно падающего тела, но в формулах я слаб и вот их подтвердить не способен.
Сам когда то рассматривал более простой случай - равноускоренную ракету для которой существует некая дистанция позади откуда даже луч света не может её достигнуть (геометрически траектория ракеты - гипербола, а света - её асимптоты) то там в силу "лифта Эйнштейна" весьма похожая ситуация - для ракеты позади есть "горизонт событий" с интересной динамикой того что на него падает, пытается над ним летать или попадает под него, но с точки зрения лабораторной ИСО вообще ничего интересного не происходит - "ни единого разрыва" (tm). В ОТО конечно сложнее.