Структура раздела "Теория пределов" в курсе матанализа

[Nickname1101]

Здравствуйте. Мой вопрос касается порядка изложения материала в разделе "Теория пределов". Просматривая теорию пределов в наиболее распространенных курсах матанализа, заметил следующую особенность. Большинство авторов придерживаются примерно следующей цепочки:

Предел последовательности
1. Определение последовательности и ее предела, примеры на проверку того, что данное число действительно является пределом последовательности.
2. Общие свойства предела последовательности (единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности, сходимость (финально) постоянной последовательности).
3. Предельный переход и арифметические операции (про сумму/произведение/частное сходящихся последовательностей).
4. Предельный переход и неравенства.
5. Подпоследовательности, теорема Больцано-Вейерштрасса, критерий Коши сходимости последовательности.
6. Критерий существования предела монотонной последовательности, частичные пределы, теоремы, связанные с ними.

Предел функции
1. Определения по Гейне и по Коши, примеры.
2. Теорема об эквивалентности определений по Гейне и по Коши.
3. Общие свойства предела функции (единственность, локальная ограниченность, предел (финально) постоянной функции).
4. Предельный переход и арифметические операции (про сумму/произведение/частное функций и их пределов).
5. Предельный переход и неравенства.
6. Критерий Коши существования предела функции, предел композиции функций, критерий существования предела монотонной функции.
7. Асимптотическое поведение функций.

Понятно, что авторы приводят примеры (например, рассказывается про число $e$ после установления факта сходимости ограниченной сверху неубывающей последовательности), но в целом, структура раздела "Теория пределов" примерно такая. Если посмотреть на темы "Предел последовательности" и "Предел функции", то они практически копируют друг друга. И это неудивительно, ведь последовательность является функцией натурального аргумента. Связующим "мостиком" этих двух тем является теорема об эквивалентности пределов по Коши и Гейне. Именно благодаря ей свойства пределов последовательностей переносятся на функции.

Когда я изучал теорию пределов, меня сопровождало непонимание того, почему структура именно такая. Зачем выделять последовательности отдельно? Почему бы не рассказывать сразу про предел произвольной функции вида $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$? Последовательности просто сведутся к этому случаю. В конце концов, у себя в голове я выстроил совершенно другую структуру теории пределов, нежели в учебнике. В центре - предел произвольной функции и его свойства, а все что касается предела последовательности (включая определение в терминах "начиная с номера $N$...") лишь частный случай предела функции (ведь последовательность - просто обычная функция натурального аргумента). Таким образом, нет необходимости доказывать теоремы для последовательностей, достаточно лишь доказать теоремы для произвольных функций.

Но у Зорича я нашел фразу, про "фундаментальную роль последовательностей". В чем эта фундаментальная роль? Ради чего страдаем? Теория предела становится в два раза короче и (лично для меня) более структурированной и понятной, если не выделять теоремы про последовательности в отдельный блок теорем. Все теоремы про предел функции элементарно доказываются в терминах определения по Коши. Использовать теоремы о пределе последовательности для доказательства теорем о пределе функции (с помощью теоремы-"мостика" об эквивалентности определений по Коши и Гейне) большого упрощения не делает. Я ни в коем случае не стремлюсь делать упреки в адрес авторов курсов матанализа, я пытаюсь решить этот вопрос исключительно для себя. Можно ли рассматривать теорию пределов, начиная сразу с произвольных функций вида $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$ и рассматривать теоремы о пределе последовательностей как частный случай соответствующих теорем о пределе функции? Или отдельное рассмотрение последовательностей имеет какое-то неоспоримое преимущество? И если имеет то какое?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Вопросы преподавания»

[arseniiv]

Nickname1101 в сообщении #1406924 писал(а):

Именно благодаря ей свойства пределов последовательностей переносятся на функции.

Ну на самом деле скорее из-за того, что эти два предела — частные случаи более общего определения — притом определения предела вообще произвольной функции не существует. Её области определения и значений должны всё же иметь достаточно структуры, чтобы говорить об окрестностях точек (или чём-то подобном — вспомните «окрестности $\pm\infty$» вещественного случая; а для предела последовательности вообще только такие и берутся — $\{n\mid n\geqslant n_0, n\in\mathbb N\}$), да и сам предел требует ещё и организовать окрестности особым образом (сравните двусторонний и односторонние пределы, например).

И предел последовательности — это вроде самый простой нетривиальный предел. Его как минимум нужно знать и увидеть, хотя нужно ли ему отводить так много времени — отдельный вопрос, на который я не буду отвечать.

Притом предел функции $\mathbb R\to\mathbb R$ или даже $\mathbb R^n\to\mathbb R$ — это же вообще далеко не вся история. Потому всё к нему сводить методически вредно, даже если когда-то и можно.

[demolishka]

Nickname1101 в сообщении #1406924 писал(а):

Зачем выделять последовательности отдельно?

Выделяются они за тем, что предполагается малоподготовленный читатель, которому нужно объяснить базовые понятия анализа. Интуицию "предела" на последовательностях выработать проще, нежели на абстрактных функциях.

Nickname1101 в сообщении #1406924 писал(а):

В чем эта фундаментальная роль? Ради чего страдаем?

Роль в том, что два других основных понятия ряда и интеграла определяются тоже в терминах последовательностей. Важное понятие секвенциальной компактности также определяется в терминах последовательностей. Да и в целом анализ зачастую изучает сложные объекты, приближая их последовательностью более простых.

Nickname1101 в сообщении #1406924 писал(а):

Почему бы не рассказывать сразу про предел произвольной функции вида $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$?

Для более подготовленных бывает начинают с предела по фильтру или со сходимости в метрических пространствах. А дальше все как частный случай. Но с фильтрами в анализе на мой взгляд идея неудачная. Счастья от того, что интеграл Римана это предел по фильтру мало. Фильтры придумали не для того, чтобы все пределы в анализе под одно определение подогнать, а для работы с топологическими пространствами без счетной базы.

Nickname1101 в сообщении #1406924 писал(а):

Теория предела становится в два раза короче и (лично для меня) более структурированной и понятной

Теория может и становится, но вот когда дело доходит до практики...

[Munin]

demolishka в сообщении #1406939 писал(а):

Выделяются они за тем, что предполагается малоподготовленный читатель, которому нужно объяснить базовые понятия анализа. Интуицию "предела" на последовательностях выработать проще, нежели на абстрактных функциях.

Не соглашусь. Функции не абстрактные, а вполне конкретные, действительнозначные действительного аргумента. К этому моменту читатель уже знаком с достаточным багажом таких функций со школы: он знает полиномы, дробно-рациональные, показательные и логарифмические, тригонометрические. А из последовательностей он знает только арифметическую и геометрическую прогрессию, в лучшем случае числа Фибоначчи и факториал. И даже не строит их графиков.

demolishka в сообщении #1406939 писал(а):

Роль в том, что два других основных понятия ряда и интеграла определяются тоже в терминах последовательностей.

Вроде бы, у интеграла есть эквивалентные определения без последовательностей. Ряд - это да, но ряд понятие не столь центральное, как производная и интеграл, и для его потребностей можно было бы обсудить последовательности отдельно и позже.

demolishka в сообщении #1406939 писал(а):

Теория может и становится, но вот когда дело доходит до практики...

На практике всё равно пределы никто не берёт "по определению", кроме патологических примеров. Вместо этого, используют алгебраическую технику, которая несколько ортогональна определению. Так же, как и с производными и с интегралами.

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1406942 писал(а):

А из последовательностей он знает только арифметическую и геометрическую прогрессию, в лучшем случае числа Фибоначчи и факториал.

А последовательности не надо знать, они на ходу выдумываются какие угодно. Для любых примеров и контрпримеров.

Мне придумывать последовательности всегда было легче, чем функции $\mathbb R \to \mathbb R$. Аналогично определение предела функции по Гейне и тем более предела последовательности всегда казалось более простым, чем определение предела функции по Коши.

Просто натуральный ряд - штука куда более интуитивная, чем числовая прямая. Очень удобно мыслить по схеме "каждый второй член последовательности такой-то, каждый третий такой-то". Так что я склонен согласиться, что с последовательностей целесообразно начинать в педагогических целях.

Не надо забывать, что в первом семестре первого курса преподаватель имеет дело со вчерашними школьниками, которые не привыкли к абстрактным определениям, и вводить их в этот мир следует постепенно.

[demolishka]

Munin в сообщении #1406942 писал(а):

Функции не абстрактные, а вполне конкретные, действительнозначные действительного аргумента

Это все равно не совсем конкретно. Интуиция насчет функций действительного переменного вырабатывается на протяжении всего анализа и даже после него. Вот создатель современного анализа Коши в свое время полагал, что всякая непрерывная функция дифференцируема всюду за исключением не более чем счетного числа точек (причем, как указывает Вейерштрасс в своей соответствующей работе, и Дирихле и Гаусс считали аналогично). Для опровержения этой "теоремы" Вейерштрасс и придумал свою знаменитую функцию, не дифференцируемую ни в одной точке. Более того, как оказалось, функции, не дифференцируемые ни в одной точке, типичны (в смысле теории меры) в пространстве всех непрерывных функций. Так что настолько ли конкретны и понятны функции действительного переменного, что интуиция на их счет подводила даже великих? Багаж знаний хороших функций не дает почти никакой интуиции.

Munin в сообщении #1406942 писал(а):

Ряд - это да, но ряд понятие не столь центральное, как производная и интеграл, и для его потребностей можно было бы обсудить последовательности отдельно и позже.

Это уже от программы зависит (кому и для чего читается курс). Я рассуждаю с позиции понимания метафизики анализа и выработки математической интуиции его понятий.

Munin в сообщении #1406942 писал(а):

На практике всё равно пределы никто не берёт "по определению", кроме патологических примеров.

На реальной практике да, но в рамках учебной практики работа по определению полезна для понимания определения предела. Во-вторых, без работы по определению не докажешь отсутствие предела или не опишешь множество частичных пределов.

Munin в сообщении #1406942 писал(а):

А из последовательностей он знает только арифметическую и геометрическую прогрессию, в лучшем случае числа Фибоначчи и факториал.

Это верно. Поэтому надо подбросить примеров. Я вот недавно задумался над учебником по базовому анализу (даже набросал заготовку в латехе), в котором всё выстраивается вокруг обоснования метода итераций Ньютона. В самом начале изложения последовательности возникают не как абстрактные последовательности, а как последовательности приближений (например, корня из двух).

[wrest]

Еще за джвадцать веков до Коши, античные греки придумали метод исчерпывания, по сути нахождения пределов последовательностей.

[vpb]

demolishka в сообщении #1406955 писал(а):

Во-вторых, работы по определению не докажешь отсутствие предела или не опишешь множество частичных пределов.

Тут слово "без" пропущено, однако ...

Собственно по теме.

Nickname1101 в сообщении #1406924 писал(а):

я пытаюсь решить этот вопрос исключительно для себя.

Так лично для Вас этот вопрос бессмысленный, Вы же теорию пределов уже освоили ...

Что же касается людей вообще, то имеют место две фундаментальные закономерности: (1) Люди учатся от частного к общему, а не наоборот (не помню случая, от слова совсем, чтобы я освоил сначала какое-то общее понятие, без всяких его частных случаев, а только потом какие-то его частные случаи.)
(2) Повторение --- мать учения. Человек сначала осваивает идеи теории пределов на кошках, т.е., пардон, последовательностях, а потом, когда он изучает предел функций вещественного арумента, у него эти идеи всплывают в голове и тем самым закрепляются.

[Nickname1101]

demolishka
vpb

demolishka в сообщении #1406939 писал(а):

Выделяются они за тем, что предполагается малоподготовленный читатель, которому нужно объяснить базовые понятия анализа. Интуицию "предела" на последовательностях выработать проще, нежели на абстрактных функциях.

vpb в сообщении #1406971 писал(а):

Человек сначала осваивает идеи теории пределов на кошках, т.е., пардон, последовательностях, а потом, когда он изучает предел функций вещественного арумента, у него эти идеи всплывают в голове и тем самым закрепляются.

Вот приступили мы к изучению дифференциального и интегрального исчисления. Я беру слово "матанализ" в кавычки, потому что из чего он состоит, где начинается и заканчивается, (лично мне) не очень понятно. Вопрос: что мы хотим исчислять/анализировать? Вещественные функции. Комплексные функции оставим комплексному анализу, отображения топологических пространств оставим топологии. Пока нам это не интересно, мы ограничиваемся именно вещественными функциями. Второй вопрос: как мы их будем анализировать, с помощью каких "инструментов"? Дифференциальное и интегральное исчисление дает нам такие "инструменты". Один из самых важных "инструментов", это предел. На нем строится все здание "матанализа". Логично начинать изучение вещественных функций с функций вида $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$. Это самые простые, но вместе с тем очень важные функции. Когда я изучал теорию пределов, я строго отдавал себе отчет в том, какие понятия являются важными, а какие второстепенными. Я "жонглировал" всего лишь двумя объектами - функция и предел. У меня не было каши в голове из-за теорем, дублирующих друг друга. Иными словами, если бы я не понимал смысл предела функции, то мне стоило бы рассказывать скорее о функциях, а не о пределах. Я помню как материал по теме "предел последовательности" лишь затормозил меня в изучении теории пределов. Мне пришлось изучить сначала предел последовательности, затем предел функции (доказывая теоремы для функций с помощью доказанных ранее теорем для последовательностей), затем я понял, что все гораздо легче чем я думал и мне пришлось доказывать теоремы о пределах функций без привлечения последовательностей, затем убеждаться в том, что предел последовательности не является каким-то самостоятельным объектом, и в конце концов убеждаться в том, что теоремы для последовательностей являются лишь частными случаями доказанных теорем для функций. Я потратил огромное количество сил на все это и ради чего?

[vpb]

А Вы, простите, кто: студент, преподаватель, или еще кто-либо ?

[Nickname1101]

vpb

(Оффтоп)

Не студент, не преподаю, просто работаю себе тихонько в небольшой коммерческой структуре. Математика для меня - хобби, которое сопровождает по жизни.

По поводу математической составляющей. Изучая какой-либо раздел математики, пытаюсь понять стоящую за ним интуицию, внутреннюю логику, соотнести порядок тем в учебнике с "естественной" структурой объектов, в нем изучаемых. Тот порядок тем, который я наблюдаю в учебниках по "матанализу" в теме "теория пределов" не очень соотносится с моим внутренним пониманием этих вещей. Вот я и пытаюсь понять, либо я что-то не вижу, либо и впрямь порядок (лично для меня) не самый удачный. Смущают слова Зорича про "фундаментальную роль последовательностей". Я ее в упор не вижу...

[Munin]

demolishka в сообщении #1406955 писал(а):

Это все равно не совсем конкретно. Интуиция насчет функций действительного переменного вырабатывается на протяжении всего анализа и даже после него.

Разумеется. Но я всего лишь указывал на то, что нельзя считать, что на момент начала анализа эта интуиция нулевая.

demolishka в сообщении #1406955 писал(а):

Так что настолько ли конкретны и понятны функции действительного переменного, что интуиция на их счет подводила даже великих? Багаж знаний хороших функций не дает почти никакой интуиции.

Тут мы с вами разойдёмся. Дело в том, что да, необходимо познакомиться и с некоторыми примерами "плохих" функций. Однако на что должна быть настроена интуиция в первую очередь? Какие примеры, "хорошие" или "плохие", должны быть в центре внимания?

Человеку, настроенному на чисто математическое образование, "плохие" примеры кажутся важнее, поскольку они ярче демонстрируют все грани и детали определений и условий теорем: в каком случае что-то работает, а в каком - уже нет.

Однако человеку, настроенному на прикладное использование математики (например, физику), все эти "плохие" примеры практически неинтересны: в жизни они не будут встречаться почти никогда. О них надо быть в курсе, что такое бывает, но не более того.

Например, те же функции в физике бывают или заданные формулой, или заданные каким-нибудь неберущимся интегралом, каким-нибудь рядом, неявной функцией, возникающие как решение какого-то ДУ. В крайнем случае - аппроксимации экспериментальных точек тоже какой-нибудь формулой. Стоит ли для таких функций предполагать на каждом шагу патологические свойства типа нигде не дифференцируемости? Вряд ли.

Так что, интуиция бывает разная.

demolishka в сообщении #1406955 писал(а):

Я вот недавно задумался над учебником по базовому анализу (даже набросал заготовку в латехе), в котором всё выстраивается вокруг обоснования метода итераций Ньютона. В самом начале изложения последовательности возникают не как абстрактные последовательности, а как последовательности приближений (например, корня из двух).

Звучит как очень хорошая идея. Не уверен, что стоит всё строить вокруг одного предмета, но побольше рассказать об этом методе (и о его родственниках) действительно нужно. И для приложений математики, и для понимания компьютерных вычислений.

-- 25.07.2019 00:34:07 --

Anton_Peplov в сообщении #1406950 писал(а):

Просто натуральный ряд - штука куда более интуитивная, чем числовая прямая.

Вы меня извините, но речь не о натуральном ряде, а о его предельных точках. И вот тут как раз всё наоборот: конечная предельная точка числовой прямой - гораздо более интуитивна, чем бесконечная предельная точка (что натурального ряда, что числовой прямой).

Nickname1101 в сообщении #1406974 писал(а):

Иными словами, если бы я не понимал смысл предела функции, то мне стоило бы рассказывать скорее о функциях, а не о пределах.

В этом есть разумное зерно: "школьные" функции дают мало примеров такого, чтобы предел не совпадал со значением функции в точке.

Однако, кроме рассказа о функциях, в этом месте всё равно потом придётся рассказать подробнее и о пределах.

[demolishka]

Munin в сообщении #1406981 писал(а):

Тут мы с вами разойдёмся.

Ну нет. Я специально обозначил с какой позиции я рассуждаю. А с Вашей позиции я скорей всего скажу то же самое, что и предложите/предложили Вы.

Nickname1101 в сообщении #1406980 писал(а):

Смущают слова Зорича про "фундаментальную роль последовательностей". Я ее в упор не вижу...

Видимо и мой ответ не видите/не хотите видеть
Тогда другой ответ. Чтобы понять эту фундаментальную роль, нужно в достаточном количестве изучить анализ. Вы его пока, по всей видимости, не освоили. Так что единственное (если не рассматривать вариант бросить все это нафиг), что остается, это довериться Зоричу или какому-нибудь другому автору и в путь . Без доверия (в таких моментах) изучать не получится.

[Padawan]

Nickname1101 в сообщении #1406924 писал(а):

Можно ли рассматривать теорию пределов, начиная сразу с произвольных функций вида $f:\mathbb{R}\supset X\to\mathbb{R}$ и рассматривать теоремы о пределе последовательностей как частный случай соответствующих теорем о пределе функции?

Нельзя. Предел в конечной точке и предел на бесконечности - принципиально разные определения. Объединять их в одно определение естественно только на уровне общего определения предела по базе (фильтру). И потом, определение предела функции по Гейне вы хотите вообще выкинуть?