Проблемы с ОДЗ

[CMTV]

Здравствуйте!

Прохожу сейчас задачник Сканави.

Вот есть задача: упростить выражение

$$ \frac{ a^{\frac12} + ab^{-1} }{ a^{-\frac13} - a^{-\frac16}b^{-\frac13} + b^{-\frac23} } $$

С самим упрощением проблем нет. Но есть проблемы с нахождением ОДЗ.

Вот мой вариант:

$$ a > 0, \ b\neq 0, \ ??? $$

Вместо вопросов еще нужно посчитать, чтобы знаменатель выражения не был равен нулю. С этим у меня как раз проблема.

В решебнике вот такое ОДЗ:

$$ a \geq 0,\ b\neq 0,\ b^{\frac23} - a^{\frac16}b^{\frac13}+a^{\frac13}\neq 0 $$

У меня возникает два вопроса:
1. Почему в решебнике $ a \geq 0 $ (то есть может равняться $0$), когда в знаменателе исходной дроби видим $ a^{-\frac13} = \frac{1}{a^{\frac13}} $?
2. Почему в ОДЗ просто записан знаменатель $\neq 0$? Разве не нужно высчитывать до конца?

Это не первый раз, когда я вижу подобные ОДЗ. В некоторых других задачах того же типа тоже встречал помещение большого выражения в ОДЗ в стиле $\neq 0$. Разве так правильно делать?

[Munin]

А что за "решебник"? В самом Сканави дан только ответ. (Это номер 1.062 по изданию 1992, номер полностью выглядит как

"упростить выражение $\dfrac{a\big{\vphantom{)}}^{1/2}+ab^{-1}}{a\big{\vphantom{)}}^{-1/3}-a\big{\vphantom{)}}^{-1/6}\,b\big{\vphantom{)}}^{-1/3}+b\big{\vphantom{)}}^{-2/3}}-\dfrac{a}{\sqrt[3\,]{b}}$ ",

никакого ОДЗ там нет, ответ в задачнике $a\big{\vphantom{)}}^{5/6}.$)

"Решебники" к известным задачам часто пишутся людьми менее высокой квалификации, там могут быть и авторские ошибки, и ошибки при подготовке к печати.

[CMTV]

Munin, решебник - "Полный сборник решений задач по математике для поступающих в ВУЗы. Группа А".

Munin в сообщении #1406241 писал(а):

никакого ОДЗ там нет

Все правильно. В ответах самого задачника ОДЗ нет. А в решебнике для каждой задачи этого типа оно есть (за исключением случаев, когда значения переменных указаны явно).

Вот я и подумал. У нас ведь есть корни в выражениях, а значит, в ходе преобразований, могут появиться и модули.
Если выражение под корнем всегда $ > 0 $, то модуль можно опустить.
Но чтобы правильно работать с такими вещами надо ведь ОДЗ считать?

Или я чего-то не понимаю?

[Munin]

Как ни странно, решебник тоже под редакцией Сканави. Там это номер 2.067. (То, что вы не указали номера, хамство.)

К сожалению, хорошего про это решение я сказать не могу. Там есть гораздо более грубая ошибка. ($a\ge 0$ вместо $a>0$ можно счесть за помарку.) А именно, там заменяют

$\sqrt[3\,]{b}\to\sqrt[6\,]{b^2}$
$b\to\sqrt[6\,]{b^6}$

что при заявленном ОДЗ ($b\ne 0$) просто неверно. В лучшем случае следовало бы написать

$\sqrt[3\,]{b}\to\sqrt[6\,]{b^2}\cdot\operatorname{sgn}(b)$
$b\to\sqrt[6\,]{b^6}\cdot\operatorname{sgn}(b)$

Либо отдельно рассматривать случаи при $b>0$ и при $b<0.$

CMTV в сообщении #1406243 писал(а):

Вот я и подумал. У нас ведь есть корни в выражениях, а значит, в ходе преобразований, могут появиться и модули.
Если выражение под корнем всегда $ > 0 $, то модуль можно опустить.
Но чтобы правильно работать с такими вещами надо ведь ОДЗ считать?
Или я чего-то не понимаю?

Это верное соображение.

Но как раз на него не влияет, решим ли мы уравнение $b\big{\vphantom{)}}^{2/3}-a\big{\vphantom{)}}^{1/6}\,b\big{\vphantom{)}}^{1/3}+a\big{\vphantom{)}}^{1/3}\ne 0,$ или оставим в "сыром" виде.

[nnosipov]

CMTV в сообщении #1406243 писал(а):

Но чтобы правильно работать с такими вещами надо ведь ОДЗ считать?

Вообще говоря, да. Смысл в том, что левая и правая часть тождества могут быть определены на разных множествах, и если мы одну из них хотим заменить на другую (например, в каких-нибудь вычислениях), то это можно делать только на пересечении этих множеств.

В данном случае Вы правильно нашли ОДЗ: очевидно, условия $a>0$ и $b \neq 0$ необходимы, но они и достаточны: знаменатель при выполнении этих условий автоматически отличен от нуля (ибо $x^2-xy+y^2=0$ тогда и только тогда, когда $x=y=0$ --- это легкое упражнение).

[CMTV]

Munin и nnosipov, спасибо за помощь! (номера впредь буду указывать)

[Munin]

nnosipov в сообщении #1406258 писал(а):

ибо $x^2-xy+y^2=0$ тогда и только тогда, когда $x=y=0$ --- это легкое упражнение

Точно, а я поленился проверять :-(

[provincialka]

Всё-таки $b^{-\frac{1}3}$ это не то же самое, что $\sqrt[3\,]{b}$. В некоторых книжках это не учитывается, но в ЕГЭ, насколько я знаю, в таком выражении считается, что $b>0$

Но я заметила, что некоторые учебники как-то легкомысленно относятся к ОДЗ в задачах упрощения выражений.

Кстати, $\dfrac{a^{1/2}+ab^{-1}}{a^{-1/3}-a^{-1/6} b^{-1/3}+b^{-2/3}}-\dfrac{a}{\sqrt[3\,]{b}}$ совпадает с $a^{5/6}$ при условии, что $b>0$, так как ограничения на $a$ слева и справа одинаковые.

[Munin]

provincialka в сообщении #1406294 писал(а):

Кстати, $\dfrac{a^{1/2}+ab^{-1}}{a^{-1/3}-a^{-1/6} b^{-1/3}+b^{-2/3}}-\dfrac{a}{\sqrt[3\,]{b}}$ совпадает с $a^{5/6}$ при условии, что $b>0$

Я тут прикинул, при $b<0$ тоже совпадает. То есть, просто решение в решебнике неправильное, а если действовать более аккуратно, можно прийти к тому же ответу через правильное решение.

provincialka в сообщении #1406294 писал(а):

в ЕГЭ, насколько я знаю, в таком выражении считается, что $b>0$

Сканави был написан за несколько десятилетий до ЕГЭ, слава богу. И в нём, в теоретической части, ничего не сказано о том, чтобы такое считалось.

[nnosipov]

provincialka в сообщении #1406294 писал(а):

Всё-таки $b^{-\frac{1}3}$ это не то же самое, что $\sqrt[3\,]{b}$. В некоторых книжках это не учитывается, но в ЕГЭ, насколько я знаю, в таком выражении считается, что $b>0$

Да, действительно, я этот момент упустил.

[provincialka]

Munin в сообщении #1406299 писал(а):

Я тут прикинул, при $b<0$ тоже совпадает.

Вопрос "философский". Это от определений зависит.
Вы же сами критиковали решение:

Munin в сообщении #1406251 писал(а):

А именно, там заменяют
$\sqrt[3\,]{b}\to\sqrt[6\,]{b^2}$

Но ведь $1/3=2/6$. Так что, от греха подальше, лучше считать, что степень с ненатуральным показателем задана только для положительных оснований.
В таком случае исходное выражение существует для всех $a>0, b>0$, а окончательное при более слабых условиях $a>0$.

[Munin]

Да, господа, вы правы, в Сканави не написано, как понимать степени с рациональным показателем. Используется значок корня, для которого перечислены свойства для натуральной степени корня $>1,$ и неотрицательного подкоренного выражения. И используются свойства степени с произвольным показателем, но без операции деления в показателе. То есть, $a\big{\vphantom{)}}^{m/n}$ понимай как хочешь :-( А в заданиях такое есть (редко, в основном корни).

(Оффтоп)

Есть ещё книжка Сканави. Элементарная математика, но задачник на неё не ссылается.

[arseniiv]

Тут было несколько обсуждений о том, что в школе делать с корнями и степенями, где в том числе и я что-то наверно страшное писал (давно). Сейчас вот подумал: а может вообще ну эту степень с произвольным показателем в школе-то? При желании $\exp(a\ln x)$, и хватит — притом и область определения у $x$ тут автоматически $\mathbb R_{>0}$. И вроде про экспоненту и логарифм полезнее узнать раньше, чем про степень такую, которая например в $\mathbb C$ простым способом не переносится.

-- Пн июл 22, 2019 02:02:25 --

Впрочем пока показатели только рациональные как конкретно здесь, мой аргумент никого не убедит и получается совсем оффтопным.

[Munin]

Ну вы знаете, математика, особенно школьная, постоянно стоит на позиции, что ей хочется рассказать что-то своё, что интересно ей, а не что интересно, например, физике или другим приложениям. А в математике всякие выражения с радикалами - богатое поле именно алгебраических упражнений. $\exp$ и $\ln$ сюда не вписываются.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1406360 писал(а):

А в математике всякие выражения с радикалами - богатое поле именно алгебраических упражнений. $\exp$ и $\ln$ сюда не вписываются.

Так я же не предлагаю отказываться и от тригонометрии.

(Оффтоп)

Вообще конечно это спорно. Что там в начале, выглядит разумно, но под конец уже почему-то «как я здесь очутился». Хотя стоит пересмотреть, что там пишут сейчас, тем более что я практически не помню, что страшного было у меня.