Интеграл

[maximk]

Пытаюсь посчитать интеграл $\int\limits_{0}^{r}[kt]dt$ двумя способами. Не знаю, есть ли среди них безошибочные.

Пусть $r \in \mathbb{Q}$, $r \in [0,1]$, $k \in \mathbb{N}$, $[x]$ - целая часть $x$, $x-[x]$ - дробная часть $x$.

Тогда $\int\limits_{0}^{r}[kt]dt=\frac{1}{k}\int\limits_{0}^{kr}[x]dx= (\int\limits_{0}^{1}+\int\limits_{1}^{2}+...+\int\limits_{[kr]}^{kr})[x]dx\frac{1}{k}= (0+1+2+...+([dr]-1)+[dr](dr-[dr]))\frac{1}{k}$

Попытался посчитать и другим способом: представил $[x]$ в виде $[x]=x-(x-[x])$.

$\int\limits_{0}^{r}[kt]dt=\frac{1}{k}\int\limits_{0}^{kr}(x-(x-[x]))dx=\frac{(kr)^2}{2k}-\frac{1}{k}\int\limits_{0}^{kr}(x-[x])dx$.

Вычислим $\int\limits_{0}^{kr}(x-[x])dx=(\int\limits_{0}^{1}+\int\limits_{1}^{2}+...+\int\limits_{[kr]}^{kr})(x-[x])dx=$, так как $x-[x]$ на каждом из данных интервалов длиною не более $1$ ведёт себя как $x$,
$=(\int\limits_{0}^{1}+\int\limits_{1}^{2}+...+\int\limits_{[kr]}^{kr})xdx=(\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}+\frac{2^2}{2}-\frac{1^2}{2}+...+\frac{[kr]^2}{2}-\frac{([kr]-1)^2}{2}+\frac{(kr)^2}{2}-\frac{[kr]^2}{2})=\frac{(kr)^2}{2}$

Тогда $\int\limits_{0}^{r}[kt]dt=0$.

Где ошибка?

[gris]

maximk в сообщении #1406303 писал(а):

так как $x-[x]$ на каждом из данных интервалов длиною не более $1$ ведёт себя как $x$,

[maximk]

А, вот и ошибка. Спасибо.
А по первому варианту всё верно?

[alcoholist]

Что за $d$ в первом способе? Сумму арифметической прогрессии упростите.

[maximk]

С $d$ ошибся, там $k$ должно быть, опечатался.

[alcoholist]

maximk

alcoholist в сообщении #1406312 писал(а):

Сумму арифметической прогрессии упростите

[maximk]

Да, это изначально видел. Мне было просто интересно, где ошибка.