Задача из Погорелова

[vpb]

Задача из Погорелова, из второго параграфа.

Погорелов писал(а):

Докажите, что если луч исходит из вершины угла и образует с его сторонами равные острые углы, то он является биссектрисой угла.

Собственно, надо доказать, что если от одного луча $a$ отложить два других, $b$ и $c$, один в одну полуплоскость, другой в другую, причем оба угла $(ab)$ и $(ac)$ острые, то $a$ лежит внутри угла $(bc)$. А как ? У меня не получается. Подразумевается доказательство строго на основе аксиоматики Погорелова. Помогите разобраться.

[Gagarin1968]

vpb
Не понял, а чем Вас не устраивает доказательство из решебника Погорелова?

[podih]

Задача чисто на определение: если углы равные, то это биссектриса.
В решебнике авторы запрещают развёрнутому-выпуклому углу иметь биссектрису.

[vpb]

Gagarin1968
Так это "доказательство" неверное. (Я этот решебник раньше и не видел. Я, впрочем, решебниками вообще не интересуюсь, так как думаю, что они, как правило, пишутся кем попало. Да и учиться детям надо по учебнику без решебника). В самом деле, обозначим дополнение луча $c$ через $c'$ ( не путать эти $a$, $b$, $c$ с теми, что у меня в посте выше). Авторы решебника (к коему, думаю, Погорелов сам отношения не имел) пишут, что отрезок $AB$ пересекать это дополнение $c'$ не может, так как в этом случае $c'$ являлось бы биссектрисой. Но это не так, т.к. само определение биссектрисы требует не только того, чтобы $AB$ пересекало $c'$, но и чтобы было $(c'a)=(1/2) (ab)$, что, очевидно, не так (поскольку $(c'a)>90^\circ$ тупой, а $(ab)$ не более $180^\circ$). Тут налицо порочный круг в использовании определений.

-- 17.07.2019, 15:04 --

podih
Не в обиду Вам будь сказано, но думаю, что Вы не понимаете определение биссектрисы из Погорелова. Справедливости ради скажем, что я сам узнал его только позавчера.

[podih]

vpb
Чтобы обижаться, надо хоть немного серьёзно относиться к словам обижающего. Ну и фактология самого высказывания: чем она объективней, тем обиднее. Пока я вижу только желание попасть в шаблон отношений.
Про биссектрису Погорелова почитаю...
В "Геометрии 7-11" за 1995 год на стр. 29 приведено вполне обычное определение.

[arseniiv]

Так, приведём заодно сюда парочку определений и аксиом оттуда же:

Погорелов, 7—11, 4-е издание писал(а):

I. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

[Пояснение к рисунку, определяющее связь положения II и отношения «лежать по одну сторону». — прим. меня.]
Точка В лежит между точками А и С, она разделяет точки А и С. Можно также сказать, что точки А и С лежат по разные стороны от точки В. Точки В и С лежат по одну сторону от точки А, они не разделяются точкой А. Точки А и В лежат по одну сторону от точки С.

Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка.

II. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Полупрямой или лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки. Эта точка называется начальной точкой полупрямой. Различные полупрямые одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называются дополнительными.

Углом называется фигура, которая состоит из точки — вершины угла — и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, — сторон угла.

Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым.

Мы будем говорить, что луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла. <…> В случае развернутого угла мы считаем, что любой луч, исходящий из его вершины и отличный от его сторон, проходит между сторонами угла.

V. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

IX. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Угол, меньший 90°, называется острым углом.

Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

Сейчас наверно попробую, после выписывания проще всё охватить.

-- Ср июл 17, 2019 21:56:03 --

(Мне теперь ещё параллельные понадобились, добавил и про них.)

-- Ср июл 17, 2019 22:10:51 --

Ещё предположим, что мы доказали, что для точек $A, B$ существует точка $C$, лежащая между ними на прямой и точка $D$ такая, что $B$ лежит между $A, D$ на прямой (и что в положении I «точки» означает «точки в числе более одной»). Если это там есть в упражнениях, хорошо. И надеюсь упомянутых аксиом достаточно на доказательство этого.

Я построил сначала отрезок из точек на лучах $a, b$, и это выглядит очень утомительным дальше. Попробую всё-таки начинать с отрезка на лучах $b, c$.

[arseniiv]

Лемма: все точки луча $a$ с вершиной $O$ на прямой $\ell$, не являющегося частью этой прямой, лежат по одну и ту же сторону от прямой. Доказательство: если это не так, для некоторых точек $A, B\in a$ имеем, что $O$ лежит между $A, B$, но это невозможно по определению луча. Теперь мы можем говорить, что два луча лежат по одну/разные стороны от прямой.

Итак, даны лучи $a, b, c$ с общей вершиной $O$ и известно, что углы $(ba), (ac)$ равны и острые, и $(bc)$ — угол. Отсюда сразу следует, что $a, b, c$ попарно различны. Отметим на $b, c$ точки $B, C$, не совпадающие с $O$.

Во-первых убедимся, что $b, c$ лежат по разные стороны от продолжения $a$. Пусть это не так. Тогда отрезок $BC$ не пересекает продолжение $a$. Если и прямая $BC$ не пересекает продолжение $a$, возьмём точку $C'$ между $O$ и $C$, а если пересекает, возьмём $C' = C$. Прямая $BC'$ пересекает продолжение $a$ в точке $A'$, и притом мы знаем, что либо $B$ лежит между $A', C$, либо $C$ лежит между $A', B$. В первом случае $\angle(ab) + \angle(bc) = \angle(ac)$, и $\angle(bc) = 0$, что невозможно, и во втором случае аналогично. Значит, отрезок $BC$ пересекает продолжение $a$.

Во-вторых убедимся, что отрезок $BC$ не содержит $O$. Если это так, угол $BOC$ развёрнутый, а углы $(ba), (ac)$ прямые, что противоречит условию.

И тут я пробовал несколько вещей и окончательно умаялся, но вроде если мы проведём перпендикулярную к $a$ прямую через $O$, то как-нибудь всё-таки все проблемы с расположением разрешатся с использованием деления пространства на прямые углы.

-- Чт июл 18, 2019 00:32:07 --

То есть зря добавлял про параллельные, и скорее всего они не понадобятся.

[vpb]

arseniiv
Спасибо за участие в теме. Я сейчас уже сам нашел решение. А вчера на ночь глядя мне казалось, что у Погорелова вообще дыра в аксиоматике. Но нет.

Выпишем еще кое-что из Погорелова.

Погорелов писал(а):

IV. Любая прямая $l$ разбивает плоскость на две полуплоскости. Если две точки $A$, $B$ лежат в одной полуплоскости, то отрезок $AB$ не пересекает $l$, а если в разных --- то пересекает.

(В Погорелове, впрочем, в качестве аксиомы написано только первое предложение. Но смысл именно такой, как-то так. )

Если $A$, $B$, $C$ --- три точки на прямой, то будем говорить, что $A$ и $B$ лежат по одну сторону от $C$, если $C$ не лежит между $A$ и $B$.

Теорема. Если $A$ --- точка на прямой $l$, $X$, $Y$, $Z$ --- три точки на $l$, отличные от $A$, причем $X$ и $Y$ лежат по одну сторону от $A$, и $X$ и $Z$ --- тоже лежат по одну сторону от $A$, тогда $Y$ и $Z$ --- тоже лежат по одну сторону.
(Доказательство --- в Погорелове).
Отсюда следует, что "лежать по одну сторону от $A$" --- отношение эквивалентности на прямой. Можно показать, что классов этой эквивалентности ровно два (в Погорелове, впрочем, не доказано). Это и есть полупрямые (лучи).

Теперь собственно утверждение.
Теорема. Пусть $a$, $b$, $c$ --- три луча с общим началом $O$, $l$ --- прямая, содержащая $a$. Предположим, что $b$ и $c$ лежат в разных полуплоскостях относительно $l$, и что оба угла $(ab)$ и $(ac)$ --- острые. Тогда $a$ проходит между сторонами угла $(bc)$.

Доказательство. Возьмем на лучах $b$ и $c$ точки $B,C\ne O$. Тогда $B$ и $C$ лежат в разных полуплоскостях относительно $l$. Значит, отрезок $BC$ пересекает $l$. Пусть $D$ --- точка пересечения.

Пусть $a'$ --- дополнительный луч к $a$. Есть три возможности: (1) $D\in a$, (2) $D=O$, (3) $D\in a'$.

В случае (1) $a$ проходит между сторонами угла $(bc)$ по определению.

Допустим (2). Тогда $B$, $C$, $O$ --- три различные точки на прямой $BC$. Значит лучи $OB=b$ и $OC=c$ --- дополнительные. Значит $(bc)$ --- развернутый. Поэтому любой луч с началом в $O$ проходит между сторонами угла $(bc)$, по определению. В частности $a$ проходит. Отсюда по аксиоме сложения углов $\angle(ba)+\angle(ac)=\angle(bc)$. Но оба $(ba)$ и $(ac)$ --- острые, а $(bc)$ --- развернутый, противоречие.

Допустим (3). Тогда луч $a'$ проходит между сторонами угла $(bc)$, так как отрезок $BC$ его пересекает. Значит $\angle(a'b)+\angle(a'c)=\angle(bc)$. Однако $\angle(a'b)+\angle(ab)$ --- развернутый (так как $b$ проходит между $a$ и $a'$), а $(ab)$ --- острый, значит $(a'b)$ --- тупой. Аналогично $(a'c)$ --- тупой. Получается, что два тупых в сумме дают нечто, что не более развернутого. Противоречие. $\square$

А про биссектрису утверждение отсюда вытекает, не будем уж писать как.

[arseniiv]

А, вот чего мне не хватало в третьем случае, всё просто! Если важна перепроверка, я ничего плохого не нашёл.

vpb в сообщении #1405569 писал(а):

в Погорелове, впрочем, не доказано

Да, видимо, считается достаточно очевидным, хотя в некоторых местах такие умолчания запутают кого-то с чересчур формальным настроем. Например прямая разбивается на два луча, но если мы относим их общую вершину в состав лучей, то это не разбиение, а если не относим, то тоже не разбиение на две части, потому что ещё остаётся вершина. И в случаях типа этого как раз приходится на это обращать внимание: думаю, немалая доля решающих точно упустит в решении случай (2) из вашего доказательства. Но учебники геометрии я писать не умею, так что наверно это лучшее из зол. В конце концов работает весьма хорошо. Тем более в принципе можно по уточнениям вокруг определений и утверждений построить картину как надо.

(Правда ещё немного жалко, что не допускаются углы в 0° и отрезки длиной 0, но вроде так и в учебнике Колмогорова? Ну, это совсем оффтоп уже.)