Непрерывность производной (задача из Зорича)

[Mitry]

Доказывается утверждение, что если $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R} $ дифференцируема на $\mathbb{R}$, то $f'$ непрерывна в любой точке $a\in\mathbb{R}$ и спрашивается, где в приведенном доказательстве ошибка
Доказательство
По теореме Лагранжа $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(\xi)$, где $\xi$ - точка между $a$ и $x$. Тогда если $x \to a$, то $\xi \to a$. По определению $\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$, и поскольку этот предел существует, то существует и равен ему предел правой части формулы Лагранжа, то есть $f'(\xi)\to f'(a)$ при $\xi\to a$. Непрерывность $f'$ в точке $a$ "доказана".
Мне кажется, что ошибочно утверждение, что $\lim\limits_{x \to a} f'(\xi)=\lim\limits_{\xi \to a} f'(\xi)$. Для того, чтобы определить, существует ли предел в правой части надо рассматривать окрестности точки $a$ и роль играют значения функции $f'$ во всех точках окрестности. Теорема Лагранжа утверждает, что что существует точка $\xi$, лежащая между $a$ и $x$, такая что $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(\xi)$ и ничего не говорит о значении $f'$ в других точках окрестности.
Прав ли я?

[Otta]

По сути, точка $\xi$ есть функция от $x$. Утверждается, что $\lim_{x\to a} f'(\xi(x))=f'(a)$.
Основание: $\xi(x)\to a$ при $x\to a$.
Этого хватит для подобного предельного перехода или надо что-то еще?

[Mitry]

Otta в сообщении #1404957 писал(а):

По сути, точка $\xi$ есть функция от $x$. Утверждается, что $\lim_{x\to a} f'(\xi(x))=f'(a)$.
Основание: $\xi(x)\to a$ при $x\to a$.
Этого хватит для подобного предельного перехода или надо что-то еще?

Нет, только этого не хватит.Например $\lim\limits_{x\to 0}x\cdot \sin(\frac{1}{x})=0$, а предела $\lim\limits_{x\to 0} sgn(x\cdot \sin(\frac{1}{x})) не существует. Достаточно добавить непрерывность функции $f'$ в точке $a$. Необходимым условием непрерывность $f'$ в точке $a$ не является, но тут я ответить затрудняюсь.

[Otta]

Mitry
В том-то и дело, что неявно используется то, что надо доказать. Представьте, что $\xi(x)\to a$, как и запланировано, а у внешней функции $a$ - точка разрыва. Производная она или нет, уже все забыли. Это в данный момент не используется.

Контрпримеры к утверждению привести можно, они известны. Но как я понимаю, Вам нужны не они, а именно ошибка в рассуждении.