Помогите посчитать производную

[arqady]

Пусть $f=x^p+y^p+z^p$, где $x,$ $y$, $z$ и $p$ положительны.
По $x+y+z,$ $xy+xz+yz$ и $xyz$ числа $x$, $y$ и $z$ определены с точностью до перестановки, а $f$ определяется однозначно.

Поэтому можно говорить о функции $f(x+y+z,xy+xz+yz,xyz)=x^p+y^p+z^p$.
Что это $\frac{\partial f}{\partial(x+y+z)}$, например, и как её посчитать? Спасибо!

[Dragon27]

Ну у вас введены переменные $u=x+y+z,\,v=xy+xz+yz,\,w=xyz$. Вот от функции $f(u,v,w)$ и ищите производную по цепному правилу.

[Padawan]

$x,y,z$ -- неявные функции от $u,v,w$

Dragon27 в сообщении #1404754 писал(а):

$u=x+y+z,\,v=xy+xz+yz,\,w=xyz$

Дифференцируете эти равенства по $u$, получаете систему для нахождение $\frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial x}{\partial u}$. Далее, $\frac{\partial f}{\partial u}=px^{p-1}\frac{\partial x}{\partial u}+py^{p-1}\frac{\partial y}{\partial u}+pz^{p-1}\frac{\partial z}{\partial u}$.

[Geen]

Padawan в сообщении #1404758 писал(а):

Дифференцируете эти равенства по $u$

Думаю проще наоборот и взять обратную матрицу...

[arqady]

Щас попробую.

[Someone]

arqady в сообщении #1404768 писал(а):

$\frac{\partial x}{\partial u}$ это $\frac{1}{\frac{\partial u}{\partial x}}$ что-ли?

Нет. С частными производными этот фокус, к сожалению, не проходит. Вам же советовали находить $\frac{\partial x}{\partial u}$ из системы уравнений.

[arqady]

Someone
Да, я уже понял это. Щас попробую.
Кто-нибудь может проверить?
У меня получилось:

$$\frac{\partial f}{\partial u}=p\sum_{cyc}\frac{x^{p+1}}{(x-y)(x-z)}.$$

Могу выложить все выкладки, если кто хочет.

[arqady]

Padawan в сообщении #1404758 писал(а):

Далее, $\frac{\partial f}{\partial u}=px^{p-1}\frac{\partial x}{\partial u}+py^{p-1}\frac{\partial y}{\partial u}+pz^{p-1}\frac{\partial z}{\partial u}$.

Кто-нибудь может объястить смысл этого равенства?
Это выглядит, как скалярное произведение... Если $f$ возрастает по $u$, то это скалярное произведение положительно. И что?

[Geen]

arqady в сообщении #1404779 писал(а):

Кто-нибудь может объястить смысл этого равенства?

$$\frac{\partial f}{\partial x^i'}=\frac{\partial f}{\partial x^j}\frac{\partial x^j}{\partial x^i'}$$

А матрица $\frac{\partial x^j}{\partial x^i'}$ обратна матрице $\frac{\partial x^j'}{\partial x^i}$