произведение матриц и присоединённые матрицы

[Paul Ivanov]

Нужно доказать, что для любых квадратных вещественнозначных матриц $A$ и $B$ размера n $(AB)^v=B^v A^v$. Где $A^v$ - это матрица, присоединённая к $A$. Всё, что вышло пока - это свести всё к трём случаям (два из которых по своей природе между собой идентичны). Если хотя бы одна из матриц имеет ранг $r \leqslant n-2$, то и слева и справа в исходном равенстве получаются нулевые матрицы, так как для любой матрицы размера $n$ и ранга $r \leqslant n-2$ присоединённая матрица состоит из одних только нулей. Далее, также можно свободно исключить случай, когда $r A =r B =n$, потому что тогда любую из нужных присоединённых матриц можно заменить на произведение обратной матрицы и скаляра детермината исходной матрицы, а дальше остаётся только заметить, что $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$. Таким образом остаются три случая, с которыми не очень понятно, что делать:
1. $r A = r B=n-1$;
2. $r A=n-1 \wedge r B =n$
3. $r B=n-1 \wedge r A =n$
Можно считать уже доказанным, что если $r C = n-1$, то $r C^v = 1$

[arseniiv]

Вот тут: https://en.wikipedia.org/wiki/Adjugate_matrix (в разделе Properties) — предлагается использовать для произвольного поля формулу Коши—Бине, а для $\mathbb R,\mathbb C$ использовать уже доказанное вами представление через обратную матрицу вместе с фактом, что любая необратимая есть предел последовательности обратимых и что взятие присоединённой матрицы непрерывно.

Ещё там есть определение с использованием внешней алгебры, с ним может при удачном выборе пути доказываться быстрее. Правда то представление определения наверно не самое лучшее, в 4.2.1 в Sergei Winitzki, Linear algebra via exterior products это внешнее транспонирование (4.1.1) $(n-1)$-й внешней степени (3.7). В этом случае обращение порядка множителей идёт именно от внешнего транспонирования (оставлено в книге как упражнение), внешняя же степень переводит произведение в произведение в том же порядке (доказано там явно, но вообще это просто).

[vpb]

Не знаю, как это можно доказать "впрямую". Я бы доказал по непрерывности, используя, например, такое замечание: если значения двух многочленов над бесконечным полем от одной переменной совпадают в бесконечном числе точек, то тогда у них все коэффициенты совпадают, значит, их значения совпадают всюду. Докажите это утверждение (или посмотрите в Кострикине), а потом подумайте, как к данной задаче применить. На самом же деле тут поле ни при чем, потому что речь идет о совпадении некиих многочленов с целыми коэффициентами. Попробуйте продумать подробности.

-- 12.07.2019, 16:31 --

Вот некое рассуждение. Маловероятно, чтобы студент 1-2 курса его нашел самостоятельно, но тем не менее, для полноты картины.

(Решение)

Можно рассуждать так.
Рассмотрим $2n^2$ символов $a_{11},\ldots,a_{nn}, b_{11},\ldots,b_{nn}$, и пусть $R={\mathbb Z} [a_{ij},b_{ij}]$ --- кольцо всех многочленов от этих символов, с целыми коэффициентами. А $K$ --- его поле частных. Ясно, что $K$ --- не что иное, как поле ${\mathbb Q}(a_{11},\ldots, b_{nn})$ всех рациональных функций от всех $a_{ij}$, $b_{ij}$ над полем ${\mathbb Q}$.
Тогда $A$, $B$, $AB$, $A^v$, $B^v$, $(AB)^v$, $B^vA^v$ --- матрицы, элементы которых --- элементы из $R$. Нам надо доказать, что $(AB)^v=B^vA^v$ как матрицы над $R$, или, эквивалентно, как матрицы над $K$. Но заметим, что $A$, $B$ --- невырождены, так как $\det(A)$, $\det(B)$ --- ненулевые многочлены, и, значит, ненулевые элементы из $K$. Остается применить утверждение, что $(AB)^v=B^vA^v$ для невырожденных матриц...

[vpb]

А можно еще так рассуждать. Рассмотрим $2n^2$ переменных $a_{11},\ldots,a_{nn}, b_{11},\ldots,b_{nn}$ (элементы матриц $A$ и $B$) . Мы можем записать любой элемент обоих матриц
$(AB)^v$, $B^vA^v$ как многочлен от этих переменных. И нам надо доказать, что многочлены, соответствующие элементам на соответственных местах обоих матриц, совпадают.

Заметим следующее. Придадим $a_{11},\ldots,b_{nn}$ какие-то конкретные значения из ${\mathbb R}$, причем такие, что обе матрицы $A$, $B$ при этих $a_{11},\ldots,b_{nn}$ невырождены. Тогда значения наших многочленов на соответственных местах совпадают, в точке $(a_{11},\ldots,b_{nn})$. Осталось заметить следующее: если значения двух многочленов от $l$ переменных с коэффициентами из ${\mathbb R}$ (или из ${\mathbb Z}$) совпадают на некотором открытом подмножестве в ${\mathbb R}^l$, то у этих многочленов совпадают и все коэффициенты.