Задачи о доле единиц в двоичной записи чисел

[Ruslan_Sharipov]

Рассмотрим вещественные числа из открытого интервала $(0,1)$. В двоичной системе счисления каждое такое число изображается в виде нуля, запятой (или точки), отделяющей целую часть от дробной, и последовательности нулей и единиц, которая может быть конечной, либо бесконечной. Если эта последовательность конечна, то мы можем сделать её бесконечной, приписав в конце нули, не меняющие представляемого ею числа. Поэтому в дальнейшем будем считать каждое число из интервала $(0,1)$ представленным бесконечной последовательностью нулей и единиц в дробной части. Пусть $x\in (0,1)$. Для каждого натурального числа $l\in\mathbb N$ обозначим через $n(l,x)$ число единиц среди первых $l$ цифр после запятой в двоичной записи числа $x$. Величину

$$d(l,x)=\frac{n(l,x)}{l}$$

естественно назвать долей единиц среди первых $l$ цифр после запятой в двоичной записи числа $x$. Она ограничена неравенствами $0\leqslant d(l,x)\leqslant 1$. Поэтому существуют конечные нижний и верхний пределы

\begin{gather*}\alpha(x)=\operatorname*{\underline\lim}_{l\to\infty}d(l,x)=\liminf_{l\to\infty}d(l,x)\geqslant 0,\\ \beta(x)=\operatorname*{\overline\lim}_{l\to\infty}d(l,x)=\limsup_{l\to\infty}d(l,x)\leqslant 1.\end{gather*}

По самому определению для этих пределов выполняется неравенство $\alpha(x)\leqslant\beta(x)$.

Вписывание некоторого конечного количества нулей и единиц в двоичную запись числа изменяет само число, но не меняет общего баланса нулей и единиц в изображающей его последовательности при $l\to\infty$. Поэтому функции $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ можно распространить на все вещественные числа $x\in\mathbb R$ полагая $\alpha(x)=\alpha(\{x\})$ и $\beta(x)=\beta(\{x\})$, где фигурные скобки означают взятие дробной части числа. Построенные таким способом функции $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ обладают свойствами самоподобия и трансляционной инвариантности:

• $\alpha(2\,x)=\alpha(x)$, $\beta(2\,x)=\beta(x)$;
• $\alpha(r+x)=\alpha(x)$, $\beta(r+x)=\beta(x)$, где $r$ – любое двоично-рациональное число.

Задача 1. Вычислить $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ для чисел $x=\sqrt{2}$, $x=\sqrt{3}$ и т. д., то есть для всех иррациональных корней из целых чисел.

Задача 2. Вычислить $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ для числа $x=e$ (основание натурального логарифма).

Задача 3. Вычислить $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ для числа $x=\pi$ (площадь единичного круга).

Задача 4. Выяснить, имеется ли связь между значениями функций $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ и мерой иррациональности числа $x$.

Для всякого отрезка $[a,b]$ числовой оси, вложенного в отезок $[0,1]$, обозначим через $M(a,b)$ множество числел $x$ из отрезка $[0,1]$, для которых $\alpha(x)\in [a,b]$ и $\beta(x)\in [a,b]$. Вырождение отрезка $[a,b]$ в точку, то есть совпадение $a=b$ допускается.

Задача 5. Выяснить являются ли множества $M(a,b)$ измеримыми по Лебегу и, если они измеримы, найти их лебегову меру.

В силу свойств самоподобия и трансляционной инвариантности функций $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ (см. выше) каждое из множеств $M(a,b)$ обладает свойством самоподобия, а именнно оно состоит из двух частей, подобных исходному множеству с коэффициентом подобия $1/2$.

Задача 6. Найти хаусдорфову размерность множеств $M(a,b)$ и их меру Хаусдорфа.

Проведённые выше задачи навеяны обсуждением в соседней теме "Задача про функцию, которая вдвое чаще растёт, чем убывает". Но напрямую они из рассмотренной там задачи не вытекают и, я полагаю, заслуживают отдельного обсуждения.

[g______d]

1, 2, 3 не знаю, возможно, они открыты. Нашёл частичный результат для алгебраических чисел, но недостаточный

https://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dh ... ebraic.pdf

4 не думал.

5, по-моему, просто. Измеримость очевидна (эти множества борелевские), а у отображения удвоения любое измеримое инвариантное множество имеет меру Лебега 0 или 1.

6 размерность вроде вычисляется здесь, но точно не разбирался:

https://academic.oup.com/qjmath/article ... 31/1658668

А меры Хаусдорфа, по-видимому, равны бесконечности (в соответствующей размерности), потому что иначе можно рассмотреть сужение меры Хаусдорфа на указанное множество и получить вероятностную меру, инвариантную относительно отображения удвоения. А таких бывает только две: дельта-мера, сосредоточенная в нуле, и мера Лебега. Для доказательства достаточно, если мне не изменяет память, посмотреть на коэффициенты Фурье этой меры (кажется, даже на этом форуме была такая задача).

Это то, что сразу пришло в голову, не думаю, что буду сильно много ещё думать.

[worm2]

В Википедии пишут, что неизвестно, является ли хоть какое-нибудь иррациональное алгебраическое число нормальным (вообще, нормальность неизвестна ни для каких чисел, кроме рациональных и некоторых специально сконструированных). Так что 1, 2, 3 — действительно открытые проблемы.

[muspellsson]

Судя по списку задач, Вас больше интересуют иррациональные числа, но хотел отметить, что из ОП не совсем ясно, как Вы работаете с тем фактом, что любое рациональное число имеет два возможных бесконечных двоичных представления.

[g______d]

worm2 в сообщении #1403866 писал(а):

нормальным

Нормальность — это существенно более сильное свойство, чем обсуждаемое.

[worm2]

Да, действительно. Можно лишь попробовать доказать слабый результат: $\alpha(x)=\beta(x)=0.5$ для всех рассматриваемых чисел. Любое другое значение $\alpha(x)$ или $\beta(x)$ для какого-то числа будет означать его ненормальность, а значит — невероятный прорыв.

[wrest]

muspellsson в сообщении #1403886 писал(а):

что из ОП не совсем ясно, как Вы работаете с тем фактом, что любое рациональное число имеет два возможных бесконечных двоичных представления.

Извините, а можете это пояснить? Для десятичной записи утверждение, как мне кажется, неверно (например число $1/3$ -- там, вроде, негде сделать замену по типу $1,(0)_{10}=0,(9)_{10}$). Для двоичной записи это не так? Вроде б та же треть это $0,(01)_2$

[mihaild]

muspellsson в сообщении #1403886 писал(а):

любое рациональное число имеет два возможных бесконечных двоичных представления

Любое двоично-рациональное.

[muspellsson]

mihaild в сообщении #1403950 писал(а):

Любое двоично-рациональное.

Да, Вы правы, прошу прощения за неточность в оригинальном сообщении

-- 08.07.2019, 20:39 --

wrest в сообщении #1403948 писал(а):

muspellsson в сообщении #1403886 писал(а):

что из ОП не совсем ясно, как Вы работаете с тем фактом, что любое рациональное число имеет два возможных бесконечных двоичных представления.

Извините, а можете это пояснить?

Как уже заметил уважаемый mihaild, это в общем случае неверно, я изначально представлял в голове числа, являющиеся конечными суммами степеней двойки (то есть, представимые конечным числом двоичных разрядов), но потом почему-то обобщил их до рациональных.

[Ruslan_Sharipov]

g______d в сообщении #1403797 писал(а):

Размерность вроде вычисляется здесь, но точно не разбирался: https://academic.oup.com/qjmath/article-abstract/os-20/1/31/1658668.

По Вашей ссылке размещена статья H. G. Egglestone, The fractional dimension of a set defined by decimal properties, The Quarterly Journal of Mathematics, 1949, V. os-20, issue 1, P. 31–36. В открытом доступе только первая страница. К полному тексту у меня доступа нет. В любом случае ссылка интересная и по делу. Спасибо.

muspellsson в сообщении #1403886 писал(а):

Не совсем ясно, как Вы работаете с тем фактом, что любое рациональное число имеет два возможных бесконечных двоичных представления.

mihaild в сообщении #1403950 писал(а):

Любое двоично-рациональное.

Ещё из школы помню, что в десятичной записи числа запрещена девятка в периоде. Аналогичным образом в двоичной системе запрещена единица в периоде. С учётом этого запрета представление любого числа бесконечной двоичной дробью единственно.

[g______d]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1404007 писал(а):

В открытом доступе только первая страница. К полному тексту у меня доступа нет.

Через sci-hub открывается.

muspellsson в сообщении #1403886 писал(а):

любое рациональное число имеет два возможных бесконечных двоичных представления.

Таких чисел (двоично-рациональных, как было отмечено выше) счётное число, поэтому ни на один из ответов это не влияет.