2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 треугольник
Сообщение22.08.2008, 06:44 
Аватара пользователя
Данно треугольник причем :
$ 2cos \frac{B}{2} cos \frac{C}{2}  =\frac{1}{2} + \frac{B+C}{A} sin \frac{A}{2} $.
Найти угол $A$

 
 
 
 
Сообщение22.08.2008, 10:31 
Аватара пользователя
В любом треугольнике $A+B+C=\pi$, так что ${B+C\over A}={\pi\over A}-1$.

По формуле преобразования произведения в сумму имеем
$$ 2cos \frac{B}{2} cos \frac{C}{2} = \cos{B+C\over2} + \cos {B-C\over 2} $$. Теперь надо преобразовать $ \cos{B+C\over2} = \cos({\pi/2-A/2})=\sin{A\over2}$ и перенести это слагаемое вправо. Что получится?

 
 
 
 
Сообщение22.08.2008, 18:32 
Аватара пользователя
:evil:
Тёмное что-то получится. Например, при $\pi/3 \leq A < 0.448761 \pi$ решение есть. Или я что-то не понимаю?

 
 
 
 
Сообщение23.08.2008, 11:36 
Аватара пользователя
незваный гость писал(а):
:evil:
Тёмное что-то получится. Например, при $\pi/3 \leq A < 0.448761 \pi$ решение есть. Или я что-то не понимаю?

Почему Вы знали что узнали $  A \leq 0,4486 \pi $ есть решение

 
 
 
 
Сообщение23.08.2008, 12:20 
Аватара пользователя
Дело в том, что в получающемся уравнении $$ \cos{B-C\over2} = {\pi\over A-2} \sin{A\over2}$$ левая часть фактически представляет собой параметр: величины $A$ и $B-C$ не выражаются друг через друга.

Так что задача сводится к уравнению с параметром $({\pi\over A}-2} )\sin{A\over2} = a$. ИМХО не похоже, чтобы оно имело аналитическое решение.

 
 
 
 
Сообщение23.08.2008, 14:07 
Аватара пользователя
Разве что через A, B, C были обозначены одновременно и стороны, и углы треугольника :lol: (углы - когда они под синусами и косинусами, а стороны - когда нет).
Тогда ещё куда ни шло.

Добавлено спустя 1 час 14 минут 48 секунд:

При каковом раскладе задача вдруг обретает решение - однозначное и не лишённое изящества.

 
 
 
 
Сообщение23.08.2008, 15:35 
ИСН писал(а):
Разве что через A, B, C были обозначены одновременно и стороны, и углы треугольника :lol: (углы - когда они под синусами и косинусами, а стороны - когда нет).
Тогда ещё куда ни шло.

Добавлено спустя 1 час 14 минут 48 секунд:

При каковом раскладе задача вдруг обретает решение - однозначное и не лишённое изящества.

Да, наверняка именно это и имелось в виду: угол А равен 60 градусам, а два других -- любые.

 
 
 
 
Сообщение23.08.2008, 18:27 
Аватара пользователя
:evil:
Бодигрим в сообщении #140333 писал(а):
Дело в том, что в получающемся уравнении $$ \cos{B-C\over2} = {\pi\over A-2} \sin{A\over2}$$ левая часть фактически представляет собой параметр: величины $A$ и $B-C$ не выражаются друг через друга.

$\cos\frac{B-C}{2} =\frac12 +\frac{\pi-2A}{A}\sin\frac{A}{2}$.
Не выражаются, но не независимы: они по-прежнему связаны соотношением на углы треугольника. Поэтому $\cos\frac{B-C}{2}$ находится в диапазоне $(\sin\frac{A}{2}, 1]$, причём левый конец не включён. И, соответственно, диапазон решений (разумеется, трансцендентное уравнение решено численно).

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group