треугольник

[daogiauvang]

Данно треугольник причем :
$ 2cos \frac{B}{2} cos \frac{C}{2} =\frac{1}{2} + \frac{B+C}{A} sin \frac{A}{2} $.
Найти угол $A$

[Бодигрим]

В любом треугольнике $A+B+C=\pi$, так что ${B+C\over A}={\pi\over A}-1$.

По формуле преобразования произведения в сумму имеем

$$ 2cos \frac{B}{2} cos \frac{C}{2} = \cos{B+C\over2} + \cos {B-C\over 2} $$

. Теперь надо преобразовать $ \cos{B+C\over2} = \cos({\pi/2-A/2})=\sin{A\over2}$ и перенести это слагаемое вправо. Что получится?

[незваный гость]

Тёмное что-то получится. Например, при $\pi/3 \leq A < 0.448761 \pi$ решение есть. Или я что-то не понимаю?

[daogiauvang]

незваный гость писал(а):

:evil:
Тёмное что-то получится. Например, при $\pi/3 \leq A < 0.448761 \pi$ решение есть. Или я что-то не понимаю?

Почему Вы знали что узнали $ A \leq 0,4486 \pi $ есть решение

[Бодигрим]

Дело в том, что в получающемся уравнении

$$ \cos{B-C\over2} = {\pi\over A-2} \sin{A\over2}$$

левая часть фактически представляет собой параметр: величины $A$ и $B-C$ не выражаются друг через друга.

Так что задача сводится к уравнению с параметром $({\pi\over A}-2} )\sin{A\over2} = a$. ИМХО не похоже, чтобы оно имело аналитическое решение.

[ИСН]

Разве что через A, B, C были обозначены одновременно и стороны, и углы треугольника (углы - когда они под синусами и косинусами, а стороны - когда нет).
Тогда ещё куда ни шло.

Добавлено спустя 1 час 14 минут 48 секунд:

При каковом раскладе задача вдруг обретает решение - однозначное и не лишённое изящества.

[ewert]

ИСН писал(а):

Разве что через A, B, C были обозначены одновременно и стороны, и углы треугольника (углы - когда они под синусами и косинусами, а стороны - когда нет).
Тогда ещё куда ни шло.

Добавлено спустя 1 час 14 минут 48 секунд:

При каковом раскладе задача вдруг обретает решение - однозначное и не лишённое изящества.

Да, наверняка именно это и имелось в виду: угол А равен 60 градусам, а два других -- любые.

[незваный гость]

Бодигрим в сообщении #140333 писал(а):

Дело в том, что в получающемся уравнении

$$ \cos{B-C\over2} = {\pi\over A-2} \sin{A\over2}$$

левая часть фактически представляет собой параметр: величины $A$ и $B-C$ не выражаются друг через друга.

$\cos\frac{B-C}{2} =\frac12 +\frac{\pi-2A}{A}\sin\frac{A}{2}$.
Не выражаются, но не независимы: они по-прежнему связаны соотношением на углы треугольника. Поэтому $\cos\frac{B-C}{2}$ находится в диапазоне $(\sin\frac{A}{2}, 1]$, причём левый конец не включён. И, соответственно, диапазон решений (разумеется, трансцендентное уравнение решено численно).