теория категорий (для чего используется?)

[zoo]

Приведите пожалуйста пример содержательного приложения теории категорий в другом разделе математики.
Под содержательностью я понимаю, что была актуальная задача, например в разделе "дифференциальные уравнения" ее никто ни мог решить, пока не применили теорию категорий.

[Профессор Снэйп]

Мне кажется, что основная задача теории категорий --- предоставлять в некоторых случаях удобный язык для изложения некоторых фактов. А о каких-то глубоких результатах там я не слышал. Впрочем, и с самой теорией категорий плохо знаком.

[zoo]

Профессор Снэйп писал(а):

Мне кажется, что основная задача теории категорий --- предоставлять в некоторых случаях удобный язык для изложения некоторых фактов. А о каких-то глубоких результатах там я не слышал. Впрочем, и с самой теорией категорий плохо знаком.

Тогда возникает следующий вопрос: приведите примеры фактов, которые в терминах теории категорий излагаются хорошо, а без теории категорий плохо. Разумеется, с той же оговоркой: речь идет только о фактах актуальных в других разделах математики.

[Профессор Снэйп]

Ну, к примеру, строится функтор из категории вычислимых нумерованных множеств в категорию конструктивных моделей, сохраняющий определённые вещи. Далее строится семейство с заданным числом фридберговых вычислимых нумераций. Как следствие получается конструктивная модель с заданной авторазмерностью.

Первое, что на ум пришло. Правда, здесь используются лишь самые основы теории категорий, да и изложение того же самого, но без слова "функтор", будет лишь ненамного длиннее. Пример же, в котором язык теории категорий сильно сокращает изложение, привести затрудняюсь.

[lofar]

Согласен с тем, что сказал Профессор Снейп, категории это язык, котрый полезен там где акцент приходится на морфизмы.

Категории удобны в алгебре. Вот, что пришло на ум:
1) Понятие абелевой категории позволяет с единой точки зрения посмотреть на некотрые факты связанные с кольцами, модулями, представлениями групп, и т. п. Особенно четко это видно в гомологической алгебре (Ext, Tor, и т. п).

2) Категории позволяют увидеть общее в дизъюнктном объединении множеств, прямой сумме модулей, копроизведении групп. Терминология связанная с прямыми и обратными пределами, произведениями и копроизведениями представляется удобной.

3) Известная связь между тензорным произведением модулей и группой гомоморфизмов в категорийных терминах описывается особенно просто: (би)функторы $\rm Hom$ и $\otimes$ сопряжены.

4) В категории модулей эпиморфизмы = сюръективные гомоморфизмы, в категории колец это не так (вложение колец $\mathbb Z\to\mathbb Q$ --- эпиморфизм в категории колец). Этот тривиальный факт вскрывает одно из существенных отличий колец от модулей.

5) Фундаментальная связь между группами и алгебрами Ли также может быть кратко поименована в категорийных терминах: категория односвязных групп Ли и категория вещественных алгебр Ли эквивалентны.

Мне видится, что категории дают некий универсальный язык, но сами в себе большого смысла не несут. В качестве аналогии можно вспомнить историю с уравнениями и отрицательными числами. Без отрицательных чисел приходилось считать различными уравнения вида $x^3+ax=b$ и $x^3+b=ax$, что конечно же не мешало их решать. Введение отрицательных чисел позволило взглянуть на все эти случаи с единой позиции, но прямо к решению задачи не привело.

[Kallikanzarid]

zoo в сообщении #140319 писал(а):

Тогда возникает следующий вопрос: приведите примеры фактов, которые в терминах теории категорий излагаются хорошо, а без теории категорий плохо.

Вся алгебраическая топология.