Мера Лебега одноточечного множества

[Cryohron]

Используя аксиому непрерывности меры для убывающей последовательности множеств $B_n=(x-1/n,x+1/n)$, доказать, что мера Лебега одноточечного подмножества $\left\lbrace x\right\rbrace$ вещественной прямой равна нулю: $\lambda\left\lbrace x\right\rbrace=0$. Используя этот факт, доказать, что $\lambda\left\lbrace \mathbb{N} \right\rbrace=0$, $\lambda\left\lbrace \mathbb{Z}\right\rbrace=0$, $\lambda\left\lbrace \mathbb{Q}\right\rbrace=0$, $\lambda(a,b)=\lambda[a,b]$.

C мерой я особо управляться еще не научился, поэтому прошу проверить мои элементарные выкладки.

Аксиома непрерывности:
Дана убывающая последовательность $B_1 \supset B_2 \supset B_3\dots$ множеств из сигма-алгебры $\mathfrak{F}$, причем $\mu(B_1)<\infty $. Пусть $B=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}B_n$
Тогда $\mu(B)=\lim\limits_{n\to\infty}^{}\mu(B_n)$.

В нашем случае $B_n=(x-1/n,x+1/n)$ и $\left\lbrace x\right\rbrace=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}B_n$.
По аксиоме непрерывности $\lambda\left\lbrace x\right\rbrace=\lim\limits_{n\to\infty}^{}\lambda(B_n)=\lim\limits_{n\to\infty}^{}\lambda(x-1/n,x+1/n)=\lim\limits_{n\to\infty}^{}(x+1/n-x+1/n)=$
$=2 \lim\limits_{n\to\infty}^{}1/n=0$.
В третьем равенстве использовалась теорема о том, что величина меры Лебега интервала на прямой равна его длине.
Множества $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ -- счетные, поэтому их можно представить в виде счетного объединения одноточечных подмножеств. Воспользовавшись сигма-аддитивностью меры получим счетную сумму нулей в качестве меры этих множеств.
Таким же образом закрытый интервал можно представить в виде объединения открытого интервала с двумя одноточечными подмножествами -- концами этого интервала, мера Лебега которых равна нулю.

[ewert]

Странная задача. Если уж речь о Лебеге, то его мера для одной точки равна нулю просто по определению этой меры.

Кто-то там явно извращается.

[Cryohron]

ewert в сообщении #1402619 писал(а):

Странная задача. Если уж речь о Лебеге, то его мера для одной точки равна нулю просто по определению этой меры.

Кто-то там явно извращается.

Задача из лекций Н.И. Черновой по теории вероятностей. Она дана как иллюстрация использования свойства непрерывности меры.

[ewert]

При всём уважении к Черновой -- крайне плохая иллюстрация. Доказывать то, что известно по определению.

Плохая прежде всего потому, что д-во может состоять из сколь угодно произвольного набора высказываний.

[Null]

ewert в сообщении #1402619 писал(а):

Странная задача. Если уж речь о Лебеге, то его мера для одной точки равна нулю просто по определению этой меры.

Кто-то там явно извращается.

В том определении которое давали нам этого нет.

[mihaild]

ewert в сообщении #1402619 писал(а):

Если уж речь о Лебеге, то его мера для одной точки равна нулю просто по определению этой меры

А какое у вас определение меры Лебега?
Стандартное вроде (для ограниченных множеств) - если внешняя (=инфинум суммарной длины интервалов, покрывающих отрезок) и внутренняя (=длина отрезка, покрывающего множество - внешняя мера дополнения) меры совпадают, то их общее значение - мера Лебега.
Тут правда непрерывность не является аксиомой, а доказывается. Но в любом случае непосредственно в определении мера точки не оговаривается (хотя конечно тривиально получается, что внешняя и внутренняя меры нулевые).

[Mikhail_K]

mihaild в сообщении #1402742 писал(а):

А какое у вас определение меры Лебега?

mihaild в сообщении #1402742 писал(а):

Но в любом случае непосредственно в определении мера точки не оговаривается

Вначале строится мера на полукольце множеств, включающих всевозможные отрезки, полуинтервалы и интервалы (и, как частный случай отрезка с совпадающими концами - одноточечные множества).
Затем строится её лебегово продолжение.

-- 02.07.2019, 21:24 --

Одних интервалов недостаточно, потому что они полукольцо не образуют. Для одной только меры Лебега можно, наверное, про отрезки (и одноточечные множества) не вспоминать при определении, но при рассмотрении произвольных мер на произвольных пространствах или там мер Лебега-Стилтьеса на прямой так уже не получится. Поэтому и меру Лебега стоит определять сразу единообразно с общим случаем.

[ewert]

При любом изложении меры Лебега вначале идёт мера промежутков/прямоугольников. Этого никак не обойти. И мера точки как частного случая промежутка/прямоугольника неизбежно окажется нулевой.

-- Вт июл 02, 2019 23:13:21 --

Mikhail_K в сообщении #1402745 писал(а):

Вначале строится мера на полукольце множеств,

У Лебега не было полукольцов. У него было брутальнее и геометричнее. Он просто вывернул наизнанку Жордана -- с пользой для дела.

Что за абстракции после этого на Лебега навесили -- за то он не отвечает. Это уже не Лебег.

-- Вт июл 02, 2019 23:32:10 --

mihaild в сообщении #1402742 писал(а):

Но в любом случае непосредственно в определении мера точки не оговаривается

В любом случае оговаривается мера промежутка. Какого именно -- каждый понимает в меру своей испорченности. Но мера точки при любом понимании окажется равной нулю.

[Null]

То что на простых множествах меры совпадают еще надо доказать. Чем ТС и занимается. Например точка не является набором интервалов.

[ewert]

Null в сообщении #1403145 писал(а):

Например точка не является набором интервалов

Нет. Но она определённо является промежутком. Базовые же объекты -- именно промежутки (неважно какой открытости). Любой другой вариант есть не более чем идеологическое извращение.

[ShMaxG]

Ребята, в лекциях по теории вероятностей у Черновой мера Лебега "вводится" как единственная мера $\lambda$ на $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ значение которой на любом интервале $(a,b)$ равно $\lambda(a,b)=b-a$. Наверное это не самый общепринятый или распространенный способ определения этого понятия, но для прикладных целей теории вероятностей мне кажется пойдет.

[mihaild]

ShMaxG в сообщении #1403345 писал(а):

мера Лебега

ShMaxG в сообщении #1403345 писал(а):

мера $\lambda$ на $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$

$\mathcal{B}$ - это борелевская сигма-алгебра? Если да, то не получится - измеримых по Лебегу больше чем по Борелю.

-- 05.07.2019, 13:09 --

ShMaxG в сообщении #1403345 писал(а):

мера Лебега

ShMaxG в сообщении #1403345 писал(а):

мера $\lambda$ на $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$

$\mathcal{B}$ - это борелевская сигма-алгебра? Если да, то не получится - измеримых по Лебегу больше чем по Борелю.

[--mS--]

mihaild в сообщении #1403353 писал(а):

$\mathcal{B}$ - это борелевская сигма-алгебра? Если да, то не получится - измеримых по Лебегу больше чем по Борелю.

Ну так не меньше, а больше, однако. Не волнуют нас для целей элементарной теории вероятностей лебеговские множества, не являющиеся борелевскими. А обсуждать вырванные из контекста определения вне общей логики курса, адресованного первокурсникам экономического факультета, смысла не вижу.

Рассуждение ТС совершенно правильно.