Метрика НУТ

[Утундрий]

Метрика Ньюмана-Унти-Тамбурино - это вакуумное решение уравнений Эйнштейна вида

$$\[ ds^2 = {\frac{{r^2 - 2mr - n^2 }} {{r^2 + n^2 }}} \left[ {dt + 2n\left( {1 - \cos \theta } \right)d\varphi } \right]^2 - \frac{{r^2 + n^2 }} {{r^2 - 2mr - n^2 }}dr^2 - \left( {r^2 + n^2 } \right)\left( {d\theta ^2 + \sin ^2 \theta d\varphi ^2 } \right) \]$$

где $t,r,\theta,\varphi$-координаты, а $m,n$-произвольные постоянные.

При $n=0$ получается метрика Шварцшильда, поэтому всюду далее $n \ne 0$.

В области $r^2 - 2mr - n^2>0$ направление изменения координаты $t$ времениподобно и может быть выбрано в качестве монады для $3+1$ расщепления. Вычисление хронометрически инвариантных три-тензоров дает следующий результат:

1. Тензор деформации равен нулю так как трехмерная метрика стационарна
2. Вектор ускорения свободно падающих частиц направлен радиально и равен
   $$\[ f_r = \frac{{ - 2n^2 r + m\left( {n^2 - r^2 } \right)}} {{\sqrt {r^2 - 2mr - n^2 } \left( {r^2 + n^2 } \right)^{3/2} }} \] $$
3. Вектор угловой скорости вращения локально инерциальных систем также направлен радиально и равен
   $$\[ \omega _r = - n\frac{{\sqrt {r^2 - 2mr - n^2 } }} {{\left( {r^2 + n^2 } \right)^{3/2} }} \] $$

Введем обозначения $r_ \pm : = m \pm \sqrt {m^2 + n^2 } $, тогда $r^2 - 2mr - n^2 = \left( {r - r_ - } \right)\left( {r - r_ + } \right)$ и рассматриваемая нами область состоит из двух кусков: $r<r_ -$ и $r_ + < r$. Однако замена $m \to - m,r \to - r$ не меняет вида метрики, поэтому достаточно рассмотреть одну из половинок, например $r_ + < r$.

Найдем где в области $r_ + < r < \infty $ НУТ притягивает частички.

1. При $m>0$ имеем систему неравенств
   $$\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {m\left( {r^2 - n^2 } \right) - 2n^2 r > 0} \\ {m + \sqrt {m^2 + n^2 } < r} \\ \end{array} } \right. \]$$
   которая сводится к $r_ + < r$, то есть вся область $r_ + < r < \infty $ -- притягивающая
2. При $m=0$ вся область $r_ + < r < \infty $ также притягивающая
3. При $m<0$ система неравенств из п.1 дает область притяжения $r_ + < r < r_ *$, где
   $$\[ r_* : = \frac{{n^2 + \left| n \right|\sqrt {m^2 + n^2 } }} {{\left| m \right|}} \] $$

Любопытно отметить, что при $m<0$ отношение $r_ * / r_ +$ как функция $\left| n/m \right|$ имеет минимум при $\left| m \right| = \left| n \right|$ равный $2\sqrt 2 + 3$.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1399987 писал(а):

...

$$\[ ds^2 = {\frac{{r^2 - 2mr - n^2 }} {{r^2 + n^2 }}} \left[ {\textcolor{blue}{dt^2} + 2n\left( {1 - \cos \theta } \right)d\varphi } \right]^2 - \frac{{r^2 + n^2 }} {{r^2 - 2mr - n^2 }}dr^2 - \left( {r^2 + n^2 } \right)\left( {d\theta ^2 + \sin ^2 \theta d\varphi ^2 } \right) \]$$

Я в этих метриках ни разу не копенгаген, но квадрат в выделенном -- часом не лишний?
Чисто из эстетических соображений и чувства симметрии. ))


https://iopscience.iop.org/article/10.1 ... 45014/meta 2. NUT space-time

[Утундрий]

Dan B-Yallay
Спасибо, исправил.

[Утундрий]

Кстати, с этим полем связана забавная интегрируемая задачка. Запишем грубо на бесконечности ($\omega$ - константа )

$${\mathbf{\ddot r}} = - \frac{{\mathbf{r}}}{{r^3 }} + \omega \frac{{{\mathbf{r}} \times {\mathbf{\dot r}}}}{{r^3 }}$$

Система допускает интеграл

$${\mathbf{m}} = {\mathbf{r}} \times {\mathbf{\dot r}} + \omega \frac{{\mathbf{r}}}{r}$$

Откуда видно (${\mathbf{m}} \cdot \frac{{\mathbf{r}}}{r} = \omega $), что каждая траектория лежит на каком-то конусе. Переписав систему в сферических координатах

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x &=& r\sin \theta \cos \varphi } \\ {y &=& r\sin \theta \sin \varphi } \\ {z &=& r\cos \theta } \\ \end{array} } \right.$$

Получим связь между константами $\omega = m\cos \theta $ и систему уравнений

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {r^2 \dot \varphi &=& m} \\ {\ddot r &=& - \frac{1}{{r^2 }} + \frac{{m^2 \sin ^2 \theta }}{{r^3 }}} \\ \end{array} } \right.$$

Решаем ее обычной в таких вопросах подстановкой $r\left( t \right) = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {u\left( \varphi \right)}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {u\left( \varphi \right)}}$ и получаем

$$r = \frac{{m^2 \sin ^2 \theta }}{{1 + \varepsilon \cos \left[ {\sin ^2 \theta \left( {\varphi - \varphi _0 } \right)} \right]}}$$

Конические сечения на конусе! (Можно, пожалуй, назвать их воистину коническими)

[Утундрий]

Утундрий в сообщении #1399987 писал(а):

Найдем где в области $r_ + < r < \infty $ НУТ притягивает частички.
При $m>0$ имеем систему неравенств

$$\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {m\left( {r^2 - n^2 } \right) - 2n^2 r > 0} \\ {m + \sqrt {m^2 + n^2 } < r} \\ \end{array} } \right. \]$$

которая сводится к $r_ + < r$, то есть вся область $r_ + < r < \infty $ -- притягивающая
При $m=0$ вся область $r_ + < r < \infty $ также притягивающая

Задачка чисто для оживления темы: Что особенного в случае $m=0$?