длина дуги от точки до точки.

[Ivan 09]

здравствуйте, интересуют следующий вопрос.Задания звучит так. Вычислить длину дуги кривой.
$y^2=(x-1)^3$ От точки $A(2;-1)$ до точки $B(5;-8)$.
мое решение.
$y^2=(x-1)^3$
$(x-1)^3=t^6$
$y=t^3; x=t^2+1$
$y'_t=3t^2$
$x'_t=2t$
Тогда.
$l=\int^5_2 \sqrt{4t^2+9t^4}dt$
правильно ли я составил интеграл, в последствии проблемы с пределами интегрирования?

[Eule_A]

Ivan 09 в сообщении #1402026 писал(а):

правильно ли я составил интеграл, в последствии проблемы с пределами интегрирования?

Интеграл верный, пределы - нет. У Вас ведь интеграл теперь по другой переменной.

[Ivan 09]

Eule_A
спасибо за ответ.
я признаюсь честно, что не знал как делать. но думаю нахожусь на правильном пути.
я так понимаю, надо для определения подставить значения точек в систему?
и тогда $l=\int^{-1}_{-2} \sqrt{4t^2+9t^4}dt$

[thething]

Ivan 09
А если учесть направление обхода кривой?

[Ivan 09]

thething
я так понимаю поменяются пределы интегрирования.
$l=\int^{-2}_{-1} \sqrt{4t^2+9t^4}dt$

[Someone]

thething в сообщении #1402037 писал(а):

А если учесть направление обхода кривой?

??? Вы считаете, что длина отрезка изменится, если линейку приложить к нему другой стороной?

[thething]

Someone
Нет, конечно, но это неаккуратность. Раз уж явно указано в условии от и до, надо соблюсти. Я так считаю. Ибо в других случаях может быть чревато..

[Ivan 09]

Someone
Вы ввели меня в заблуждения, сразу и не понять, кому адресовано сообщение.
что-то не так в моих рассуждениях по поводу пределов интегрирования, или наоборот, то, что я написал- правильно?

[Someone]

Ivan 09 в сообщении #1402065 писал(а):

Вы ввели меня в заблуждения

Это не я, это thething. В результате стало ясно, что вы не знаете, как надо расставлять пределы интегрирования в криволинейном интеграле первого рода. Потому что сначала они были правильные, а потом стали неправильными. Вы бы разобрались в этом вопросе. Учебник-то у Вас есть?

[Ivan 09]

Someone
есть, Ильин В.А., Позняк Э.Г. - Основы математического анализа (в 2-х частях) 1998

[thething]

Ivan 09
Да, это я не совсем точно выразился в первом своём сообщении. О том, что имелось ввиду, написал Вам в ЛС.

[Someone]

Ivan 09 в сообщении #1402074 писал(а):

Ильин В.А., Позняк Э.Г. - Основы математического анализа (в 2-х частях) 1998

Конкретно этой книги я не знаю, но посмотрите, что там сказано по поводу вычисления длины дуги кривой.
Хотя в этом конкретном случае всё просто: длина дуги всегда неотрицательна — просто по определению длины дуги, поэтому пределы интегрирования надо расставлять так, чтобы интеграл был неотрицательным. Поскольку подынтегральная функция неотрицательна (это квадратный корень из чего-то), то нижний предел интегрирования должен быть не больше верхнего. Так же расставляются пределы интегрирования в криволинейном интеграле первого рода, который также называется интегралом по длине дуги: если он сводится к определённому интегралу с помощью параметрического уравнения кривой, то пределы интегрирования расставляются так, чтобы нижний предел интегрирования был не больше верхнего.

Есть ещё криволинейные интегралы второго рода (иногда называются интегралами по проекциям, или по координатам). Вот они зависят от направления обхода кривой, и пределы интегрирования расставляются в соответствии с направлением обхода (нижний предел — начало, верхний — конец дуги).