Угол в пространстве

[Андрей]

Здравствуйте, помогите пожалуйста с такой задачей. Имеются два стержня ОМ и OК, их общее начало точка О является центром системы координат XYZO рис.1.

________________________________________рис.1а

__________________________________рис.1б
При этом длина ОМ неизвестна, а длина ОК = l. Изначально стержень OK совпадает с положительным направлением оси OY, а стержень ОМ совпадает с отрицательным направлением оси OZ. Затем происходит ряд поворотов стержней ОМ и ОК:
1. Стержень ОМ поворачивают относительно оси OX на угол δ (поворот против часовой стрелки если смотреть с положительного конца оси OX);
2. Стержень ОМ поворачивают относительно оси OY на угол φ (поворот по часовой стрелки если смотреть с положительного конца оси OY);
3. Стержень ОК поворачивают относительно оси OХ на угол β (поворот по часовой стрелки если смотреть с положительного конца оси OХ);
4. Стержень ОК поворачивают относительно оси OZ на угол γ (поворот по часовой стрелки если смотреть с положительного конца оси OZ).
Затем из точки К опускают перпендикуляр на отрезок ОМ и получают точку Р (честно говоря зачем это делается не знаю).
Определить угол КОР, т.е. угол между отрезками ОК и ОМ.

рисунки разделены // нг

[nestoklon]

Андрей писал(а):

Определить угол КОР, т.е. угол между отрезками ОК и ОМ.

Напишите все преобразования в координатах. Отдельные матрицы поворотов пишутся элементарно. Перемножаем, умножаем вектор на получившуюся матрицу поворота и всё...

Андрей писал(а):

Затем из точки К опускают перпендикуляр на отрезок ОМ и получают точку Р (честно говоря зачем это делается не знаю).

Видимо, в качестве подсказки. Так как длина отрезка OP будет равна косинусу искомого угла.

[ewert]

nestoklon писал(а):

Видимо, в качестве подсказки. Так как дляна отрезка OP будет равна косинусу искомого угла.

Именно что дляна. Найти её не проще, чем сам косинус. А уж саму точку -- сложнее.

[Андрей]

Насчет матриц поворота у меня тоже была такая идея, для стержня ОК она составляется просто (уже), но вот как быть со стержнем ОМ не понятно (сами cos, sin не проблема) но не известна длина стержня, как с этим быть?

[nestoklon]

ewert писал(а):

Найти её не проще, чем сам косинус. А уж саму точку -- сложнее.

Кому как

Добавлено спустя 7 минут 6 секунд:

Андрей писал(а):

не известна длина стержня, как с этим быть?

Обозначить её буквой. Например, L .
Да, и стоит обратить внимание, что точка P может "выскочить за стержень". То есть может придётся повозиться с различными случаями.

[ewert]

nestoklon в сообщении #140153 писал(а):

ewert писал(а):

Найти её не проще, чем сам косинус. А уж саму точку -- сложнее.

Кому как

Да всем так. Хотя бы потому, что для самой точки надо найти три числа, а не одно.

Андрей в сообщении #140152 писал(а):

но не известна длина стержня, как с этим быть?

Попросту счесть её равной единице. Раз интересуют только углы -- длины несущественны.

[Андрей]

Получается что это должно выгледить так

$cos(KOP)=Z_P / Y_K Z_P = L cos\delta cos\psi Y_K = l cos\beta cos\gamma $cos(KOP)={L cos\delta cos\varphi \over\ l cos\beta cos\gamma}$
Но мне кажется нельзя пренебрегать длиной L и l т.к. длина L указывает на перпендикулярность КР к ОМ и поэтому наверно L должна присутствовать в формулах (как и l)но вот как ее найти.

[ewert]

Андрей писал(а):

Получается что это должно выгледить так

cos(КОР)=Z_P / Y_K Z_P = L cos\delta cos\psi Y_K = l cos\beta cos\gamma $cos(KOP)={L cos\delta cos\psi \over\ l cos\beta cos\gamma}$
Но мне кажется нельзя пренебрегать длиной L и l т.к. длина L указывает на перпендикулярность КР к ОМ и поэтому наверно L должна присутствовать в формулах (как и l)но вот как ее найти.

Вы в совершенно ненужную сторону думаете. Выпишите пока координаты для обоих отрезков, предполагая, что обе длины известны.

[Андрей]

Координаты точки Р таковы (при этом L неизвестна)

$X_P= L sin\varphi\cdot cos\delta Y_P= L sin\delta Z_P= - L cos\varphi\cdot cos\delta$

Координаты точки К таковы (l известна)

$X_K= l sin\gamma\cdot cos\beta Y_K= l cos\gamma\cdot cos\beta Z_K= - l sin\beta $

Ни как не могу понять что нам даст если мы предположим что L нам известна

[PAV]

Андрей, формулы будут читаться гораздо лучше, если писать \cos и \sin (как команды):

$X_P= L \sin\varphi\cdot \cos\delta$

[ewert]

Андрей писал(а):

Координаты точки Р таковы (при этом L неизвестна)

X_P= L sin\varphi\cdot cos\delta Y_P= L sin\delta Z_P= - L cos\varphi\cdot cos\delta

Координаты точки К таковы (l известна)

X_K= l sin\gamma\cdot cos\beta Y_K= l cos\gamma\cdot cos\beta Z_K= - l sin\beta

Ни как не могу понять что нам даст если мы предположим что L нам известна

Очень просто.

Длины $l$ и $L$ в обоих соотношениях являются общими множителями для каждой из координат (Вы ведь сами так написали). Поэтому направления отрезков от этих параметров не зависят. И, следовательно, не зависит от них и угол между отрезками.

Более того. Проекция точки $K$ на другой отрезок зависит, конечно, от расстояния ($l$) этой точки до начала координат -- но уж никак не может зависеть от длины отрезка, на направление которого эта точка проецируется.

Т.е. $L$ уж никак не может повлиять на эту проекцию.

[Андрей]

То есть
$cos(KOP)={cos\delta cos\varphi\over\ cos\beta cos\gamma}$

Получается так?

[ewert]

Андрей писал(а):

То есть
$cos(KOP)={cos\delta cos\varphi\over\ cos\beta cos\gamma}$

Получается так?

Безусловно нет. С какой стати?

Вы ведь честно выписали координаты концевых точек (т.е. соответствующих векторов; буквально ли верно выписали -- следить лень).

Ну а теперь так же честно посчитайте косинус угла между векторами через скалярное произведение, как это принято в приличном обществе. Длины при этом не менее честно сократятся.

[Андрей]

Блин , вот лажанулся (мягко говоря), как я мог забыть про косинус угла между векторами.... Большущее спасибо, пойду поумножаю .

Добавлено спустя 1 час 36 минут 18 секунд:

Получил вот такой угол

$ cos(KOP)= \sin\varphi\cdot \cos\delta\cdot \sin\gamma\cdot \cos\beta + \sin\delta\cdot \cos\gamma\cdot \cos\beta + \cos\varphi\cdot \cos\delta\cdot \sin\beta$

Сто процентное совпадение с ответом . Возник чисто спортивный интерес можно ли данное выражение упростить или привести к какому то другому виду.