Помогите с началом рассуждения - корни квадратного уравнения

[TOTAL]

Overtaker в сообщении #1401674 писал(а):

У квадратного уравнения $K^2+(C+1)K+C=0$ коэффициенты $C+1$ и $C$ увеличили на единицу. Эту операцию повторили девять раз. Могло ли оказаться, что у каждого из десяти полученных уравнений корни целые числа?

[Overtaker]

Конечно, второй корень равен $-(c+i)$ во всех случаях.
i - число, которое прибавили

[TOTAL]

Overtaker в сообщении #1401801 писал(а):

Конечно, второй корень равен $-(c+i)$ во всех случаях.
i - число, которое прибавили

В каком случае все десять уравнений имеют целые корни?

[Overtaker]

Если $P=Q+1$

[TOTAL]

Overtaker в сообщении #1401804 писал(а):

Если $P=Q+1$

$p=0.3, \; q=-0.7$ проверьте

[Overtaker]

Да, если p и q - целые

[gris]

То есть получается, что мы можем не только увеличивать, но и уменьшать на единичку оба коэффициента уравнения. Получается неограниченная в обе стороны последовательность уравнений $x^2+kx+k-1=0|k\in\mathbb Z$. Не только десять, а сколько угодно.
Интересно, а существует ли уравнение, не входящее в эту последовательность, которое допускает один шаг? Да, например, $x^2-3x+0=0$ или $x^2+6x+9=0$. А вот два шага — вопрос.
Впрочем, несложно подобрать пример:
$x^2-24x+119=0$ с корнями $(7,19)$
$x^2-23x+120=0$ с корнями $(8,15)$
$x^2-22x+121=0$ с корнями $(11,11)$
Так можно и до десяти шагов добраться Но это лишнее, конечно.

[Overtaker]

gris
Интересная тема!
А на сколько теория квадратные уравнения в целых числах проработана и систематизирована?

[gris]

Да в математике везде можно ковыряться для развлечения. А всерьёз при хоть каком-то одобрении со стороны найти несложную тему невозможно. Квадратные уравнения истрепали в школьных задачах, в Кванте и разных сборниках. На олимпиадах бывают. Есть достаточно интересные. Может быть есть даже и исследования. Это надо у знатоков теории чисел спросить.

[Overtaker]

gris
Ок, спасибо!