Переход при вычислении предела

[Tiberium]

Понимаю, что это что-то совсем очевидное, но все-таки не понимаю

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\left|\sum\limits_{k=1}^n (-1)^k\sqrt{k}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{2n}}\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k}} $$

На каком основании мы сделали этот переход? Арифметически-то понятно, но в зависимости от четности/нечетности $n$ там ведь будет ещё одно слагаемое, и как-то неочевидно, что в пределе будет то же самое.

[ET]

Тут одно из двух: или предел не существует и тогда ваши сомнения оправданы или тут все правильно
Справа написан предел подпоследовательности. А если он (в смысле, предел самой последовательности) существует, то обязан быть равен пределу любой своей подпоследоватлеьности

ЗЫ А что там доказывается то? Предел вычисляется или доказывается его существование-несуществование?

[Tiberium]

ET в сообщении #1401571 писал(а):

Тут одно из двух: или предел не существует и тогда ваши сомнения оправданы или тут все правильно
Справа написан предел подпоследовательности. А если он (в смысле, предел самой последовательности) существует, то обязан быть равен пределу любой своей подпоследоватлеьности

ЗЫ А что там доказывается то? Предел вычисляется или доказывается его существование-несуществование?

Ну да, меня и смутило как раз это предположение о существовании предела исходной последовательности. Автор посчитал его существование очевиднымя, а я застопорился.

А доказывается равенство этого предела $\frac{1}{2}$.

[ewert]

Tiberium в сообщении #1401569 писал(а):

в зависимости от четности/нечетности $n$ там ведь будет ещё одно слагаемое, и как-то неочевидно, что в пределе будет то же самое.

Переход действительно крайне легкомыслен, но тут дело вот в чём. Для нечётного эн получится примерно то же самое, но с добавкой лишнего самого первого слагаемого, а оно равно единице. И если учесть, что основная сумма стремится к бесконечности...

[Tiberium]

ewert в сообщении #1401575 писал(а):

Переход действительно крайне легкомыслен, но тут дело вот в чём. Для нечётного эн получится примерно то же самое, но с добавкой лишнего самого первого слагаемого, а оно равно единице. И если учесть, что основная сумма стремится к бесконечности...

А почему единица? Я прикидывал, получалось так при $n=2m$,

$$\lim\limits_{m \to \infty} {\frac{1}{\sqrt{2m}} \sum \limits_{k=1}^{m}{\frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k-1}}}}$$

... и добавлялось одно слагаемое при $n=2m+1$:

$$\lim\limits_{m \to \infty} {\frac{1}{\sqrt{2m+1}} |\sum \limits_{k=1}^{m}{\frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k-1}}+\sqrt{2m+1}|}}$$

[ewert]

Tiberium в сообщении #1401577 писал(а):

... и добавлялось одно слагаемое при $n=2m+1$:

... а Вы добавьте не последнее, а именно первое. Оно и задавится остальной суммой. А то, что слагаемые в этой остальной будут чуть-чуть другими -- так какая разница?

[ET]

Tiberium в сообщении #1401577 писал(а):

А почему единица?
... и добавлялось одно слагаемое при $n=2m+1$:

$$\lim\limits_{m \to \infty} {\frac{1}{\sqrt{2m+1}} |\sum \limits_{k=1}^{m}{\frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k-1}}-\sqrt{2m+1}|}}$$

Я думаю, что ewert имеет ввиду чуть другое, вот такое:

$$\lim\limits_{m \to \infty} {\frac{1}{\sqrt{2m+1}} |-1+\sum \limits_{k=1}^{m}{\frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k+1}}|}}$$

[TOTAL]

$$S_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\left|\sum\limits_{k=1}^n (-1)^k\sqrt{k}\right|=\frac{1}{\sqrt{n}}\left|\sqrt{n}-\sqrt{n-1}+\sqrt{n-2}- \cdots\right|$$

$$P_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}}\left|\sqrt{n}-\sqrt{n-1}+\sqrt{n-2}- \cdots\right|$$

$$P_n+S_{n+1}=\left|\cdots\right|$$