Кристаллография. Исследование соли. ФЛФ, з-чи 38-1, 38-2

[Uchitel'_istorii]

Условие английское и ответы:

PNG. писал(а):

38-1. An orchardist found it was easy to set two trees in line, but harder to set three. However, by practice and careful surveying, he set out 64 small trees on a square E-W, N-S grid, 8 trees to a row, and 8 rows, with a 6.0 x 6.0 m basic square. Standing at one corner of his orchard, he observed 3 lines of 8 trees each, counting the tree in the corner where he stood, 2 lines of 4 each, and 4 lines of 3 each.

a) What was the least angle between two adjacent lines of these nine lines?
b) What was the greatest distance between two successive trees in any one of these lines?
c) In an "infinite orchard" set out on this basic grid, each of these lines would appear from the air as one of a set of parallel lines well populated with trees. The distance between adjacent parallel lines of any set could be considered as its "grating space." Find the grating space for successive sets from the south front of the orchard to the 45° line.

38-2. The sodium and chlorine atoms of an NaCl crystal are alternately spaced at the corners of a cubical lattice whose Na-to-Cl closest spacing is d = 2.82 Å. Find the largest five interplanar spacings for the NaCl crystal, and find at what angles first-order Bragg reflections should occur for these planes, if X-rays of wavelength 1.50 Å were used.

Перевод :

Google Translate писал(а):

38-1. Садовод нашел, что легко установить два дерева в ряд, но сложнее установить три. Тем не менее, на практике и тщательной съемке он установил 64 небольших дерева на квадрате E-W, сетку N-S, 8 деревьев на ряд и 8 рядов с базовым квадратом $6,0 \times 6,0 \text{м}$. Стоя в углу своего сада, он заметил 3 линии по 8 деревьев в каждой, считая дерево в углу, где он стоял, 2 линии по 4 и 4 линии по 3 в каждой.

а) Какой был наименьший угол между двумя соседними линиями этих девяти линий?
б) Каково было наибольшее расстояние между двумя последовательными деревьями в любой из этих линий?
в) В «бесконечном саду», установленном на этой базовой сетке, каждая из этих линий будет появляться с воздуха как одна из множества параллельных линий, хорошо населенных деревьями. Расстояние между соседними параллельными линиями любого множества можно рассматривать как его «решетчатое пространство». Найдите место для последовательных сетов от южного фронта сада до линии $45 ^\circ$.

38-2. Атомы натрия и хлора кристалла NaCl поочередно расположены по углам кубической решетки, расстояние между которыми Na-Cl составляет $d = 2,82 \AA$. Найдите самые большие пять межплоскостных расстояний для кристалла NaCl и найдите, под какими углами сначала Брэгговские отражения первого порядка должны возникать для этих плоскостей, если используются рентгеновские лучи с длиной волны $1,50 \AA$.

Решение задачи 38-1.
Используя рисунок PNG (левый чертеж), легко найти углы между плоскостями и южным фронтом $\alpha_{(hkl)}$ , где $(hkl)$ - индексы Миллера - обратные величины отсекаемых плоскостью координат :
$\tg(\alpha_{(100)}) = 0$
$\tg(\alpha_{(310)}) = 1/3$
$\tg(\alpha_{(210)}) = 1/2$
$\tg(\alpha_{(320)}) = 2/3$
$\tg(\alpha_{(110)}) = 1$

$\alpha_{(100)}=0^\circ $
$\alpha_{(310)}=18,435^\circ , \Delta\alpha = 18,435^\circ$
$\alpha_{(210)}=26,565^\circ , \Delta\alpha = 8,13^\circ$
$\alpha_{(320)}=33,69^\circ , \Delta\alpha = 7,125^\circ$
$\alpha_{(110)}=45^\circ , \Delta\alpha = 11,31^\circ$

$\Delta\alpha_{min} = 7,125^\circ = 7^\circ7'30''$

Максимальное расстояние между соседними деревьями в линях:
$2d/sin(\alpha_{(320)}) = 21,63 \text{m}$.

Шаг линий:
$d_{(100)} = d = 6 \text{m}$
$d_{(310)} = d\sin(\alpha_{(310)}) = 1,897 \text{m}$
$d_{(210)} = d\sin(\alpha_{(210)}) = 2,683 \text{m}$
$d_{(320)} = 0,5d\sin(\alpha_{(320)}) = 1,664 \text{m}$ -- не сошлось с ответом.
$d_{(110)} = d\sin(\alpha_{(110)}) = 4,243 \text{m}$

Почему $d_{(320)}$ в ответе в 2 раза больше? Если брать , как в ответе, то получается, что параллельные линии надо вести от каждого дерева южного фронта. Но тогда между двумя соседними линиями будет еще одни ряд деревьев PNG (правый чертеж).


Решение задачи 38-2.

Условие сильного отражения записывается так (38.9):
$2d\sin\theta=n\lambda\quad (n=1,2,\dotsc).$

Все возможные межплоскостные расстояния для кубической решетки с расстоянием между узлами $2,82 \cdot 10^{-10} \text{m} $:
$d_{(100)} = d = 2,82 \cdot 10^{-10} \text{m}$
$d_{(310)} = d\sin(\alpha_{(310)}) = 8,917 \cdot 10^{-11} \text{m}$
$d_{(210)} = d\sin(\alpha_{(210)}) = 1,261 \cdot 10^{-10} \text{m}$
$d_{(320)} = 0,5d\sin(\alpha_{(320)}) = 7,821 \cdot 10^{-11} \text{m}$
$d_{(110)} = d\sin(\alpha_{(110)}) = 1,994 \cdot 10^{-10} \text{m} $
$d_{(111)} = d / \sqrt{3} = 1,628 \cdot 10^{-10} \text{m} $

Угол между падающим лучом и поверхностью:
$\theta=\arcsin\tfrac{\lambda}{2d}$

$\theta_{(100)}=15,424^\circ = 15^\circ25'$
$\theta_{(310)}=57,249^\circ = 57^\circ15'$
$\theta_{(210)}=36,491^\circ = 36^\circ 29'$
$\theta_{(320)}=73,521^\circ = 73^\circ 31'$
$\theta_{(110)}=22,094^\circ = 22^\circ 6'$
$\theta_{(111)}=27,429^\circ = 27^\circ 26'$
В ответах углы $15^\circ 44' , 22^\circ 13' , 27^\circ 24' , 32^\circ 13' , 36^\circ 31'$. Почему не все углы совпали? Фейнман не упоминал, что надо учитывать, что атомы хлора и натрия чередуются (но даже если учесть, то всё равно не совпадает).

[Uchitel'_istorii]

Нашел формулу межплоскостного расстояния, выраженного через шаг кубической решетки $d$ и индексы Миллера:
$d_{(hkl)}=\tfrac{d}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$

Если взять угол $ 32^\circ 13'$, то межплоскостное расстояние должно быть $d_{(hkl)}= 1,407 \cdot 10^{-10} \text{m}= 0.5d$, т.е. $\sqrt{h^2+k^2+l^2}} = 2$.
Но индексов Миллера , удовлетворяющих этому условию, не существует.