Лемма Филиппова

[pogulyat_vyshel]

В статье А. Ф. Филиппов, Дифференциальные уравнения с разрывной
правой частью, Матем. сб., 1960, том 51(93), номер 1, 99–128
есть такая лемма
https://a.radikal.ru/a13/1906/e7/572fd597ddbd.png
Доказательства я не понял, в первую очередь потому, что не знаю, что такое асимптотически непрерывная функция. Но изготовил другую, незначительно суженную версию этой леммы, которая тоже годится.

Но хотелось бы всетаки знать, что имел в виду Алексей Федорович. Это, собственно, формулировка вопроса.

Пусть $D\subset\mathbb{R}^m$ -- открытое множество и $f:D\to\mathbb{R}^m$ -- отображение, измеримое в стандартном лебеговском смысле. Меру Лебега в дальнейшем обозначаем через $\mu$.

Теорема 1.
Предположим, что $f(D)$ -- ограниченное множество.

Тогда существует такое множество $N_0,\quad \mu(N_0)=0$, что

$$\bigcap_{N,\,\mu(N)=0}\overline{f(D\backslash N)}=\overline {f(D\backslash N_0)}.\qquad(1)$$

Пересечение берется по всем множествам меры нуль.
Чертой обозначено замыкание.


Доказательство.
Назовем точку $y\in\overline {f(D)}$ хорошей, если для любого $\varepsilon>0$ верно следующее

$$\mu\big(f^{-1}(B_\varepsilon(y))\big)>0.$$

(Через $B_r(y)$ обозначен открытый шар радиуса $r$ с центром в очке $y$.) Остальные точки из $\overline {f(D)}$ назовем плохими.



Для каждой плохой точки $y$ найдется шар $B_{r(y)}(y)$ такой, что $\mu\big(f^{-1}(B_{r(y)}(y))\big)=0.$ Поскольку по условию теоремы множество $f(D)$ ограничено, из всех таких шаров можно выбрать конечное подмножество

$$B_{r_1}(y_1),\ldots, B_{r_n}(y_n)$$

такое, что

$$\bigcup_{y - \mbox{плохое}}B_{r(y)/2}(y)\subset \bigcup_{i=1}^nB_{r_i}(y_i).$$

Положим

$$N_0:=f^{-1}\Big(\bigcup_{y - \mbox{плохое}}B_{r(y)/2}(y)\Big);$$

и

$$N_0\subset f^{-1}\Big(\bigcup_{i=1}^nB_{r_i}(y_i)\Big)=\bigcup_{i=1}^nf^{-1}\big(B_{r_i}(y_i)\big),\quad \mu\Big(f^{-1}\big(B_{r_i}(y_i)\big)\Big)=0.$$

Значит $N_0$ измеримо по Лебегу и $\mu(N_0)=0$.

Переходим к доказательству формулы (1).
Включение $\subset $ -- очевидно -- т.к. $N_0$ является одним из множеств по которым производится пересечение в левой части формулы.

Проверим включение $\supset$. По построению, плохие точки не входят в множество $\overline {f(D\backslash N_0)}$. При этом, если точка $y$ -- хорошая, то $y\in \overline{f(D\backslash N)}$ при любом $N,\quad \mu(N)=0$.

Действительно, $\exists x_k\in f^{-1}(B_{1/k}(y))\backslash N,\quad k\in\mathbb{N}\Longrightarrow f(x_k)\to y$ при $k\to \infty$.

Теорема доказана.

[Padawan]

Асимптотически непрерывная - это то же самое, что аппроксимативно непрерывная. Функция $f(x)$ аппроксимативно непрерывна в точке $x_0$, если существует множество $A$, для которого точка $x_0$ является точкой плотности и $f(x)\to f(x_0)$, когда $x\to x_0$, $x\in A$. Функция измерима на множестве $E$ тогда и только тогда, когда она аппрокисмативно непрерывна почти во всех точках множества $E$.

[pogulyat_vyshel]

Следствие теоремы Лузина?

[Padawan]

Тоже так подумал Я не знаю, в мат. энциклопедии прочитал. Но похоже на правду.

[pogulyat_vyshel]

Padawan в сообщении #1400837 писал(а):

Асимптотически непрерывная - это то же самое, что аппроксимативно непрерывная. Функция $f(x)$ аппроксимативно непрерывна в точке $x_0$, если существует множество $A$, для которого точка $x_0$ является точкой плотности и $f(x)\to f(x_0)$, когда $x\to x_0$, $x\in A$.

Боюсь, что тогда доказательство в статье ошибочно.
Берем отображение из $E=\mathbb{R}^2$ в себя $f:(x,y)\mapsto(X,Y)$
$X(x,y)=0$ если $y\ne 0$; и $X(x,y)=1$ -- если $y=0$. И $Y(x,y)\equiv 0$.
В этом примере, если следовать статье $N_0=\emptyset,\quad \verilne{f(E-N_0)}=\{(0,0),(1,0)\}$, а множество, стоящее в левой части равенства состоит лишь из точки $(0,0)$. Потому, что одно из множеств $N$ обязательно будет $\{y=0\}$.