Изоморфизм полугруппы и множества правых нулей

[GlobalMiwka]

Здравствуйте!

Пусть $K$ — множество правых нулей полугруппы $S$. Предположим, что $K\neq 0$. Тогда $S\cong J_k$ в том и только в том случае, когда ... [Мальцев 1952]

Я пропустил условия изоморфизма, которое Мальцев нашел, ведь ему, очевидно, никто не подсказывал какие они, он сам как-то до них дошел.

1. Очевидно, так как полугруппа имеет правые нули, то они скорее всего должны отображаться в правые нули полугруппы преобразований $J_k$.
2. Полугруппа преобразований содержит в себе группу перестановок, а так как для группы перестановок уравнение $ab=c$ однозначно, то $ab=ad\Rightarrow b=d$, это видимо должно отразиться на способе отображения $a\rightarrow \alpha$
3. для оставшейся части определить отображение.

Вот с чего теперь начать дальше?

[george66]

А что такое $J_k$?

[GlobalMiwka]

$J_k$ - это множество всевозможных отображений множества $K$ в себя $K\rightarrow K$. Например правые нули это отображение всех элементов $K$ в один элемент $k$.

[george66]

Смутно представляю так: берём некоторое множество $K$. Берём полугруппу всех функций из $K$ в $K$. Каждому элементу $k\in K$ сопоставим функцию, тождественно равную $k$. Она будет нулём (мне кажется, что левым, но это зависит от того, в каком порядке писать композицию). Теперь наоборот: дана некоторая полугруппа. В каком случае она будет полугруппой всех функций из некоторого множества в него же? В качестве множества берём множество левых (как мне кажется) нулей. Необходимое условие - если две функции равны на всех точках множества, то они равны (аксиома объёмности). Это значит, если два элемента группы не равны
$f\neq g$
то должна быть точка (левый нуль) $x$, на котором они различаются
$f\circ x\neq g\circ x$
Условие, конечно, не достаточное.

[GlobalMiwka]

Извиняюсь, что так долго, времени не было.

Давайте я приведу полное условие.

Пусть $K$ — множество правых нулей полугруппы $S$. Предположим, что $K\neq 0$. Тогда $S\cong J_k$ в том и только в том случае, когда а) $xa=xb(a, b \in S)$ для всех $x\in K$ влечет за собой $a=b$ и б) если $a$ — произвольное преобразование множества $K$, то существует такой элемент $a\in S$, что $xa=x\alpha$ для всех $x\in $.


Не знал про аксиома объемности, теперь буду знать. Хорошее замечание, должна пригодиться.

Я так полагаю отображение $k\rightarrow \varphi_k\colon K\rightarrow k$ единственно верным(хотя может и $k'\rightarrow \varphi_k\colon K\rightarrow k$), так как $\varphi_k$ являются правыми нулями $J_k$, и так как у нас изоморфизм, то некуда больше отображать $k\in S$.

На данный момент, кроме как оперировать отображениями $\varphi_k$ нечем, потому что это то, что нам удалось явно установить. Учитывая тот факт, что в полугруппе преобразований $J_k$ есть группа перестановок, то используя смысл аксиомы объемности, можно рассмотреть выражения $ka$, если предположить, что $a\in S$ может быть перестановкой (биективное отображение), т.е. элементом группы, то это означает, что есть элементы $a,b \in S$ для которых выполняются равенство $\forall x\in K, a,b\in S (xa=xb\Rightarrow a=b)$. А утверждение б), мне просто допустить такое отображение или можно тоже логически к нему прийти?

[george66]

Моя с трудом понимать ваш языка!
Да, Мальцев записывает композицию в обратном порядке, поэтому у него правые нули (вместо левых, как при обычной записи). Первое условие Мальцева - это то, что я говорил выше (аксиома объёмности). Если функции $a,b$ дают одинаковый результат на любом нуле $x$, то $a=b$. Равносильно, если $a\neq b$, то есть такой нуль, на котором они не равны (в обозначениях Мальцева $xa\neq xb$, в нормальных обозначениях $ax\neq bx$, что значит $a(x)\neq b(x)$. Вы уверены в своих силах? Мальцев - трудное чтение.

[iifat]

george66 в сообщении #1399217 писал(а):

Необходимое условие - если две функции равны на всех точках множества, то они равны (аксиома объёмности)

А каково определение функции? В том смысле, что при обычном-то, как подмножество прямого произведения со специальными условиями, это никакая не аксиоома, а достаточно простенькая теорема, не?

[george66]

iifat в сообщении #1399884 писал(а):

А каково определение функции? В том смысле, что при обычном-то, как подмножество прямого произведения со специальными условиями, это никакая не аксиоома, а достаточно простенькая теорема, не?

Да, простенькая теорема, если функцию определять как множество. Но можно считать функцию исходным понятием, тогда это аксиома ("аксиома экстенсиональности").

[GlobalMiwka]

Здравствуйте!

Товарищи, что-то мы отошли от темы.

В полугруппе всех отображений не может быть левых нулей, только в том случае, если полугруппа отображений состоит только из одного элемента.

Не думаю, что задача сложная, она в самом начале книги идёт, самые азы.

Мальцев вместо $\forall x\in K$ берет $\forall\varphi_k\colon K\rightarrow k$ так как правые нули отображения сходятся в один элемент подмножества $K\subseteq S$

[george66]

Мальцев почему-то записывает композицию в обратном порядке. Поэтому у него правые нули там, где у всех левые. Он и применение функции к аргументу записывает $x\alpha$ вместо $\alpha(x)$

[george66]

Возьмём произвольное множество $K$. Функции $f\colon K\to K$ образуют полугруппу по композиции. Функцию, которая по $x$ выдаёт $f(g(x))$ я буду обозначать $f\circ g$ (Мальцев её обозначает $gf$).
$(f\circ g)(x)=f(g(x))$
Применение функции к аргументу я буду обозначать $f(x)$ (Мальцев пишет $xf$). Для каждого элемента $k\in K$ определим функцию $\varphi_k$, тождественно равную $k$.
$\varphi_k(x)=k$ для всех $x$
Что будет, если взять её композицию с чем-нибудь? С одной стороны
$\varphi_k\circ f=\varphi_k$
поскольку
$\varphi_k( f(x))=k=\varphi_k(x)$ (вот тут исправил)
Поэтому $\varphi_k$ является левым нулём (в обозначениях Мальцева правым). С другой стороны
$f\circ\varphi_k=\varphi_{f(k)}$
поскольку
$f(\varphi_k(x))=f(k)$
Понятен ли смысл написанных формул?

[GlobalMiwka]

Ясно. Из вашего ответа я понял, что левые и правые нули в множестве отображений - это условность записи. Как это изменило суть задачи и пояснения, что я дал?

[george66]

Теперь идея такая: пусть дана полугруппа и надо проверить, является ли она полугруппой всех функций из некоторого множества $K$ в него же. В качестве $K$ возьмём множество всех левых нулей полугруппы. Любой элемент полугруппы (обозначим его $f$) задаёт отображение из $K$ в $K$, переводящее левый нуль $\varphi$ в левый нуль $f\circ \varphi$. Тут надо смотреть на формулу
$f\circ\varphi_k=\varphi_{f(k)}$
пока она не станет ясной.
Кстати, в предыдущем сообщении исправил опечатку, посмотрите ещё раз (я пометил место)

[GlobalMiwka]

Для всех $a,b\in S$ выполняется $\forall x\in K (xa=xb\Rightarrow a=b)$ поэтому любой элемент $a$ однозначно определяется выражением $\forall x\in K (xa)$, потому что $\forall x\in K\Rightarrow \forall \varphi_x(\varphi_a\varphi_x=\varphi_b\varphi_x\Rightarrow \varphi_a=\varphi_b\Rightarrow xa=xb\Rightarrow a=b)$

-- 20.06.2019, 18:36 --

Как доказать, что есть $\forall x\in K(xa=\varphi_a(x))$ ?

[george66]

GlobalMiwka в сообщении #1400346 писал(а):

Для всех $a,b\in S$ выполняется $\forall x\in K (xa=xb\Rightarrow a=b)$ поэтому любой элемент $a$ однозначно определяется выражением $\forall x\in K (xa)$, потому что $\forall x\in K\Rightarrow \forall \varphi_x(\varphi_a\varphi_x=\varphi_b\varphi_x\Rightarrow \varphi_a=\varphi_b\Rightarrow xa=xb\Rightarrow a=b)$

-- 20.06.2019, 18:36 --

Как доказать, что есть $\forall x\in K(xa=\varphi_a(x))$ ?

Первую фразу вообще не понимаю (особенно импликацию после квантора), вторая неверна и доказать её нельзя. Возьмите пока книжку полегче.