Операция с оператором набла

[paltus]

Здравствуйте.
В Фейнмановских лекциях по физике(русское издание) в томе 5 страница 171 столкнулся с формулой и не могу понять, как в ней происходит вот это преобразование
$\varphi\nabla^2\varphi = \varphi(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}) =$
$=\frac{\partial}{\partial x}(\varphi\frac{\partial\varphi}{\partial x})-(\frac{\partial\varphi}{\partial x})^2+\frac{\partial}{\partial y}(\varphi\frac{\partial\varphi}{\partial y})-(\frac{\partial\varphi}{\partial y})^2+\frac{\partial}{\partial z}(\varphi\frac{\partial\varphi}{\partial z})-(\frac{\partial\varphi}{\partial z})^2$
Мне казалось должно получится скалярное умножение двух скаляров вот так
$\varphi\nabla^2\varphi = x \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+y \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+z \frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2} $
но дальше по сути не вижу никаких возможных ходов.
Какое-то действие опущено или же использовано возможно какое-то свойство дифференцирования?
по ссылке глава из книги, формула (8.33)
http://www.all-fizika.com/article/index ... rticle=810

[Pphantom]

paltus в сообщении #1399396 писал(а):

Мне казалось должно получится скалярное умножение двух скаляров вот так
$\varphi\nabla^2\varphi = x \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+y \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+z \frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2} $

Каким образом? Исходная запись читается как $\varphi \, (\nabla^2 \varphi)$, интерпретировать ее так, как вы пишете, более чем затруднительно.

[Munin]

paltus в сообщении #1399396 писал(а):

Мне казалось должно получится скалярное умножение двух скаляров вот так
$\varphi\nabla^2\varphi = x \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+y \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+z \frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2} $

Простите, откуда здесь $x,y,z$? Там фи должно быть, ведь слева стоит ровно оно.

paltus в сообщении #1399396 писал(а):

В Фейнмановских лекциях по физике(русское издание) в томе 5 страница 171 столкнулся с формулой и не могу понять, как в ней происходит вот это преобразование
$\varphi\nabla^2\varphi = \varphi(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}) =$
$=\frac{\partial}{\partial x}(\varphi\frac{\partial\varphi}{\partial x})-(\frac{\partial\varphi}{\partial x})^2+\frac{\partial}{\partial y}(\varphi\frac{\partial\varphi}{\partial y})-(\frac{\partial\varphi}{\partial y})^2+\frac{\partial}{\partial z}(\varphi\frac{\partial\varphi}{\partial z})-(\frac{\partial\varphi}{\partial z})^2$

Давайте попробуем в обратную сторону. Вот есть у нас скобочка $\frac{\partial}{\partial x}(\varphi\frac{\partial\varphi}{\partial x}).$ Чему она равна, по правилу дифференцирования произведения?

-- 15.06.2019 20:24:23 --

Кстати, заметьте, что полностью записанная используемая Фейнманом формула

$$\int\varphi\,\boldsymbol{\nabla}^2\varphi\,dV=\oint(\varphi\,\boldsymbol{\nabla}\varphi)\cdot\mathbf{n}\,da-\int(\boldsymbol{\nabla}\varphi)\cdot(\boldsymbol{\nabla}\varphi)\,dV$$

есть аналог "интегрирования по частям" в трёхмерном случае. В чуть более общем виде,

$$\int f\,\boldsymbol{\nabla}\mathbf{v}\,dV=\oint(f\,\mathbf{v})\cdot\mathbf{n}\,da-\int(\boldsymbol{\nabla}f)\cdot\mathbf{v}\,dV,$$

и аналогичные формулы могут быть записаны для других случаев "производных от произведений" векторного анализа:

$$\begin{aligned} \nabla(fg) & =(\nabla f)g+f\,\nabla g & \nabla\cdot(f\mathbf{v}) & =(\nabla f)\cdot\mathbf{v}+f\,\nabla\cdot\mathbf{v} \\ \nabla\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) & =(\nabla\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}-\mathbf{v}\cdot(\nabla\times\mathbf{w}) & \nabla\times(f\mathbf{v}) & =(\nabla f)\times\mathbf{v}+f(\nabla\times\mathbf{v}) \end{aligned}$$

и только для случаев $\nabla(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}),\quad\nabla\times(\mathbf{v}\times\mathbf{w})$ формулы получаются слишком большие (хотя может, и они пригодятся).

[paltus]

Премного благодарен. Просто сам себя запутал, конечно тут просто произведение двух скаляров.
Получается
$\varphi\nabla^2\varphi = \varphi\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2} + \varphi\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2} + \varphi\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2} $
Далее если рассматривать каждое слагаемое по отдельности получаем
$ \varphi\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2} +(\frac{\partial\varphi}{\partial x})^2 - (\frac{\partial\varphi}{\partial x})^2 = \frac{\partial}{\partial x}(\varphi\frac{\partial\varphi}{\partial x}) - (\frac{\partial\varphi}{\partial x})^2 $