Исследовать на устойчивость решение

[Skyfall]

Доброго времени суток.

Прошу проверить, верное ли решение.

Задание: исследовать устойчивость нулевого решения системы д. у. и начертить фазовые кривые в плоскости Оху.


$ \left\{\begin{matrix} \dot{x} & = & 3x & + & 4y\\ \dot{y} & = & 2x & + & y \end{matrix}\right. $

Решение.

Найдем характеристические числа для матрицы данной системы:
$\lambda _{1}=-1,\ \lambda _{2}=5$ – вещественные и различных знаков, следовательно – "седло".

Интегральные "прямые":$ y = -x, y = 5x$.

Направление движения по фазовым траекториям определяем с помощью вектора:
$\left ( \dot{x} ,\dot{y}\right )|_{\left ( 1,0 \right )}= \left ( 3,2 \right )$.

Среди характеристических чисел есть число с положительной вещественной частью ($\lambda _{2}$), следовательно решение является неустойчивым.

[DeBill]

Skyfall в сообщении #1398327 писал(а):

Направление движения по фазовым траекториям определяем с помощью вектора:
$\left ( \dot{x} ,\dot{y}\right )|_{\left ( 1,0 \right )}= \left ( 3,2 \right )$.

А Вас не смущает, что вектор этот как бы не касается фазовых кривых?

(Оффтоп)

Неправильно найдены собственные вектора.

[Skyfall]

DeBill в сообщении #1398336 писал(а):

А Вас не смущает, что вектор этот как бы не касается фазовых кривых?

Так а направление верное указано?
Подскажите, как должно быть. Я так понял, что кривые мы наносим схематически.
В методичке, увы, ни слова, про взаимосвязь вектора и направления кривых.

(Оффтоп)

DeBill в сообщении #1398336 писал(а):

Неправильно найдены собственные вектора.

Вектора?.. Я их и не искал, только СЗ (СЧ).
https://www.wolframalpha.com/input/?i=eignvalues+%7B%7B3,4%7D,%7B2,1%7D%7D

-- 08.06.2019, 01:49 --

Skyfall в сообщении #1398339 писал(а):

Я так понял, что кривые мы наносим схематически.

$x = \varphi\left ( t \right )$ - фазовая кривая. Исследуем нулевое решение, т.е. $t=0$?
И нужно само решение еще найти, чтобы точно нарисовать фазовые кривые? А почему их больше одной при фиксированном $t=0$?

[DeBill]

Skyfall в сообщении #1398339 писал(а):

кривые мы наносим схематически.

Так то оно так, но можно все же "схему" рисовать похожую на правду...
Для седла: собственные вектора касаются сепаратрис (и стрелочки на них соответствуют знакам соответствующих собственных значений. Этого достаточно для расстановки стрелок на всех прочих "гиперболах").
Картинку следует переделать (Ваш найденный вектор должен касаться кривой, проходящей через точку (1,0))

[Eule_A]

Skyfall в сообщении #1398339 писал(а):

Я так понял, что кривые мы наносим схематически.

До определённой степени. Я увидев отмеченный вектор, задался вопросом, как Вы по нему что-то определили, но воздержался от озвучивания.
На фотографии, которую Вы привели, выбрана точка, принадлежащая фазовой кривой, проходящей через эту точку. Из системы уравнений найден вектор скорости (он касается кривой, разумеется) - его направление и определяет то, как стрелки расставляются.
У Вас, конечно, особая точка - не центр. Так что, как подсказали выше, Вам нужно для начала правильно найти собственные векторы.

P.S. Как всегда, пока пишешь, уже ответят. Ладно, не совсем совпадаю, так что оставлю...

[DeBill]

Skyfall в сообщении #1398339 писал(а):

$x = \varphi\left ( t \right )$ - фазовая кривая.

????? НЕТ, нет и нет.

Skyfall в сообщении #1398339 писал(а):

Исследуем нулевое решение, т.е. $t=0$?

Нет!!!!

Skyfall в сообщении #1398339 писал(а):

И нужно само решение еще найти, чтобы точно нарисовать фазовые кривые?

Точно нарисовать тут не получится. Но нулевое решение (оно дается формулами $x(t)=0,y(t)=0$) - легко!

[Skyfall]

Цитата:

Ваш найденный вектор должен касаться кривой, проходящей через точку (1,0)

Цитата:

он касается кривой, разумеется

В путаницу вводило, что во всех примерах в методичке вектор касается кривых и началом и концом. Но, судя по всему, достаточно, чтобы его начало было в точке, принадлежащей фазовой кривой.

Но вообще, получается, это избыточно для случая "седла". Достаточно характеристических чисел.

[Red_Herring]

Skyfall в сообщении #1398343 писал(а):

Но вообще, получается, это избыточно для случая "седла". Достаточно характеристических чисел.

Этих чисел достаточно, чтобы определить тип. Однако для того чтобы нарисовать следует найти собственные векторы.

[Skyfall]

Red_Herring в сообщении #1398345 писал(а):

Skyfall в сообщении #1398343 писал(а):

Но вообще, получается, это избыточно для случая "седла". Достаточно характеристических чисел.

Этих чисел достаточно, чтобы определить тип. Однако для того чтобы нарисовать следует найти собственные векторы.

Не могли бы сопроводить ссылочкой к алгоритму? Как по СВ построить график фазовых кривых.

-- 08.06.2019, 02:22 --

В общем, наверное имеется в виду следующее:

Решаем исходную систему.

(Оффтоп)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%27%3D3x%2B4y,+y%27%3D2x%2By

Приравниваем к нулю x и y.
Выбираем какие-либо C1, C2.
Получили графики.
Меняя C1 и C2 можно получать разные фазовые кривые.

Зачем искать СВ?

[Red_Herring]

Skyfall в сообщении #1398346 писал(а):

Зачем искать СВ?

Затем что на тесте или экзамене вам wolframalpha воспользоваться не дадут (а если и дадут, то не засчитают). И читайте учебник. Подсказка: сепаратрисы направлены вдоль с.в. (а не то, что вы нарисовали)

[ewert]

Skyfall в сообщении #1398346 писал(а):

Зачем искать СВ?

Затем, что телодвижения следует делать осмысленно. А смысл здесь очень прост: общее решение в матричной форме имеет вид $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=e^{At}\begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix}$, где $e^{At}$ -- матричная экспонента и $\begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix}$ -- начальное условие.

Если матрица диагонализуема, то любой вектор можно представить как линейную комбинацию её собственных векторов: $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=s_1\vec v_1+s_2\vec v_2$, где $s_1,\ s_2$ -- координаты этого вектора в собственном базисе. И тогда мистическая матричная экспонента расшифровывается очень просто: общее решение есть $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=C_1e^{\lambda_1t}\vec v_1+C_2e^{\lambda_2t}\vec v_2$, т.е. $s_1=C_1e^{\lambda_1t}$ и $s_2=C_2e^{\lambda_2t}$, т.е. $s_2=\mathrm{const}\cdot s_1^{\gamma}$, где $\gamma=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}$. Если собственные числа -- разных знаков, т.е. если $\gamma<0$, то получается что-то вроде гипербол, натянутых на собственные векторы (т.е. на соответствующие оси) -- "седло". Если знаки одинаковы, то будет что-то вроде парабол -- "узел". Вот если собственные числа комплексны (фокус или центр), то придётся ещё чуть-чуть дополнительно повозиться с переводом комплексного решения в вещественную форму. В вещественном же случае всё банально, и нужно понимать именно смысл этой банальщины, а не просто зазубривать готовые рецепты.

[Skyfall]

ewert
Спасибо за объяснение, стало понятнее