Выражение sl(2, C) в базисе

[qweqwe2017]

Здравствуйте!
Хотелось бы понять, как выражается действие $\rho(E+)$ и $\rho(E-)$представления $\mathfrak{sl}(2,C)$ на базисных матрицах $E+=\begin{pmatrix} 0& 1 \\ 0& 0 \end{pmatrix}$ и $E-=\begin{pmatrix} 0& 0 \\ 1& 0 \end{pmatrix}$ в базисе $\nu^{(n)}_m$, используемом в квантовой теории углового момента, то есть определённом как $\rho(H)\nu^{(n)}_m\ = m \nu^{(n)}_m$ и $\left\langle\nu^{(n)}_m, \nu^{(n)}_{m'}\right\rangle=\delta_{mm'}$, где $H=\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0& -1 \end{pmatrix}$, а скобки - это некоторая инвариантная эрмитова форма на $d^n$ - неприводимом конечномерном представлении $\mathfrak{sl}(2,C)$ (могу написать в явном виде, но по-моему, это у этого есть общепринятое понятие).

Если честно, степень непринятия материала достаточно высокая, мне много не понятно. Алгебра Ли $\mathfrak{sl}(2,C)$ это коммутаторы на матрицах, приведённых выше.
А что делает оператор $\rho$ на матрицах? Видел пример на однородных многочленах, но вот здесь остаётся вопрос. Подскажите, пожалуйста, куда двигаться, или, возможно, что почитать, потому что свои поиски как-то не помогли.

[Munin]

qweqwe2017 в сообщении #1398243 писал(а):

Алгебра Ли $\mathfrak{sl}(2,C)$ это коммутаторы на матрицах, приведённых выше.

Алгебра Ли $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ - это абстрактная алгебра Ли, которую можно определить как алгебру на матрицах $2\times 2$ над $\mathbb{C}.$

Дальше, у алгебр Ли есть представления (representations, не путать с presentations). У каждой алгебры - много разных представлений. Например, есть присоединённое представление (adjoint representation) - для классических алгебр Ли оно состоит ровно из таких же матриц. Но есть и много других представлений. Нельзя говорить просто "представление", не уточняя, какое именно имеется в виду. (Есть бесконечная башня только конечномерных представлений, и это не говоря про бесконечномерные.)

В общем, хотелось бы уточнения. Откуда вы берёте материал и определения?

-- 07.06.2019 14:49:53 --

(Извините, у меня сложилось впечатление, может быть ошибочное, что вы находитесь в положении физика, которому поручили освоить математику групп и алгебр Ли, но не прочитали ни систематического курса, ни дали систематического учебника. А приходится разбираться "на лету" по каким-то ошмёткам и упоминаниям в физических статьях и даже не слишком высокого качества. В такой ситуации, лучше всего поискать такой систематический курс.)