Дифференциал функции

[trunb1]

По определению дифференциала:
$df(\overline{a})=\sum_{s=1}^n f'_{x_s}h_s$
Рассмотрим функцию: $f(\overline{x})=x_s$ , тогда $dx_s=hs$
Почему из последнего равенства следует, что $dx_s$ равен $h_s$?

[arseniiv]

Когда пишут $dx_s$, то как раз и имеют в виду вашу функцию $f$, выделяющую $s$-ю координату. То есть мы рассматриваем выражения как функции от аргументов $(x_1,\ldots,x_n)$, таким же образом можно сказать «функция $x_1 + x_3$», что будет означать такую $g$, что $g(x_1,\ldots,x_n) = x_1 + x_3$, и аналогично взять частную производную: $(x_1 + x_3)'_{x_2}$ — это частная производная $g$ по второму аргументу, а предыдущая запись просто удобнее (бывает). Так что может быть даже написано, что $dg = d(x_1 + x_3) = dx_1 + dx_3$, и плюс справа это сложение функций, и в итоге это эквивалентно чуть более аккуратной записи $(dg)(x_1,\ldots,x_n,h_1,\ldots,h_n) = h_1 + h_3$.

[trunb1]

arseniiv
То есть $dx_s$ - функция, которая возвращает $s$-ю координату. Поэтому $dx_s(h_1,...,h_n)=h_s$. Но с чего вдруг независимая переменная $x_s$ стала функцией $n$ аргументов?

[arseniiv]

Ну, в математике вообще нет понятия «переменная», это уже метаматические штучки, касающиеся обозначений. Ну и это тоже обозначения — мы решили обозначать функцию, возвращающую $k$-ю координату своего аргумента обозначением переменной, обозначающей $k$-ю координату, достаточно логично.

-- Чт июн 06, 2019 01:16:25 --

Тут наверно люди будут возражать, но лично я считаю, что вот эти зависимые и независимые переменные в вопросах дифференцирования только путают. У нас могут быть функции и известны какие-то соотношения между ними, ну и всё.

[trunb1]

arseniiv
Просто не очень понятно, как Вы получили, что $dx_s$ - функция, выделяющая $s$-ю координату. Почему-то не вижу, откуда это следует

[Munin]

trunb1 в сообщении #1397967 писал(а):

То есть $dx_s$ - функция, которая возвращает $s$-ю координату.

Нет, $x_s$ - это функция, возвращающая $s$-ю координату.

Скажем, находитесь вы в пространстве $\mathbb{R}^2$ в точке $(2,5).$ Тогда вы можете считать всегда заданными функции на этом пространстве $x_1$ и $x_2,$ и в вашей точке $x_1=2$ и $x_2=5.$ Ровно это и означает, что координата $x_1=2$ и координата $x_2=5.$ (В школе эти две координаты принято обозначать $x$ и $y,$ но это перестаёт быть удобным, когда их много.)

Или ещё пример. Можно на том же пространстве $\mathbb{R}^2$ ввести функции $r$ и $\varphi,$ которые в вашей точке будут $r=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}$ и $\varphi=\arctg\tfrac{5}{2}.$ И тоже назвать их координатами - полярными координатами.

-- 06.06.2019 00:50:21 --

trunb1 в сообщении #1397967 писал(а):

То есть $dx_s$ - функция, которая возвращает $s$-ю координату.

Точнее так. $dx_s$ - это и вправду функция, которая возвращает $s$-ю координату, но не $s$-ю координату точки $\vec{x},$ а $s$-ю координату вектора $\vec{h}=(h_1,\ldots h_n).$ Тогда да. $dx_s(\vec{h})=h_s.$

В этом смысле, $dx_s$ - линейная (однородная) функция на пространстве векторов $\vec{h}.$ (Иногда используются названия линейная форма или линейный функционал, но смысл тот же.)

И при этом, она же - (произвольная) функция на пространстве точек $\vec{x}.$ То есть, в общем итоге, это функция двух параметров: $\vec{x}$ и $\vec{h}.$

-- 06.06.2019 00:51:22 --

Поначалу кажется, что эти "навороты" ни для чего не нужны, но постепенно появляются задачи, для которых это всё оказывается удобным инструментом и системой понятий.

[trunb1]

Munin
$f(\overline{x})=x_s$ (то есть $f(\overline{x})$ -функция, которая возвращает $s$-ю координату). Как из этого следует, что $dx_s$ тоже является функцией, которая возвращает $s$-ю координату?

[Slav-27]

trunb1 в сообщении #1397942 писал(а):

По определению дифференциала:
$df(\overline{a})=\sum_{s=1}^n f'_{x_s}h_s$

Плохо написано определение. Лучше так: $((df)(a))(h)=\sum\limits_{s=1}^n \left( \left(\left(\dfrac{\partial f}{\partial x^s}\right)(a)\right)h^s\right)$.
Здесь $f$ -- функция, определённая на открытом множестве $U\subset \mathbb R^n$ и принимающая значения в $\mathbb R$ (это записывают так: $f:U\to \mathbb R$); $a\in U$ -- какая-то точка множества $U$; $h\in\mathbb R^n$ -- какой-то вектор из $\mathbb R^n$ (бывает полезно думать, что этот вектор отложен от точки $a$: он показывает направление, по которому мы дифференцируем).

Я поставил много скобок, чтобы труднее было что-нибудь истолковать неправильно; обычно скобок пишут меньше. Индексы у компонент векторов лучше писать сверху, а не снизу (но не путайте: это индексы, а не степени). Черту над буквой, обозначающей вектор, я не пишу: мы сразу договорились, что это вектор, и ничего другого эта буква всё равно обозначать не будет.

$df$ -- это функция, определённая на множестве $U$ и принимающая значения в множестве линейных функций из $\mathbb R^n$ в $\mathbb R$ Это можно написать и так: $df: U\to \operatorname{Lin}(\mathbb R^n,\mathbb R)$.

Таким образом, для каждой конкретной точки $a\in U$ $df(a)$ -- это линейная функция $\mathbb R^n\to \mathbb R$ (своя для каждой точки $a$).

Всё понятно? Если да, то проверьте, что если $c^s:U\to \mathbb R$ -- функция, которая точке $\begin{pmatrix}x^1\\x^2\\\vdots\\x^n\end{pmatrix}$ сопоставляет число $x^s$, то для любой точки $a\in U $ и для любого вектора $h\in\mathbb R^n$ верно равенство $((d(c^s))(a))\begin{pmatrix}h^1\\h^2\\\vdots\\h^n\end{pmatrix}=h^s$. (Как проверить? -- расписав определение.)

[Munin]

trunb1 в сообщении #1397994 писал(а):

Как из этого следует, что $dx_s$ тоже является функцией, которая возвращает $s$-ю координату?

Во-первых, надо понимать, что $dx_s$ не "тоже".

$x_s(\vec{x})$ - это функция, возвращающая $s$-ю координату аргумента $\vec{x}.$
$dx_s(\vec{x},\vec{h})$ - это функция, возвращающая $s$-ю координату другого аргумента $\vec{h},$ хотя от $\vec{x}$ она тоже зависит.

Во-вторых, как следует.

Строго применением формулы $df(\vec{x})=\sum\limits_{s=1}^n f'_{x_s}\cdot h^{\vphantom{\prime}}_s.$

А именно, когда нам дана функция $f,$ то чтобы найти $df$ (это можно читать как $d\,f,$ то есть оператор $d,$ применённый к $f$), нам надо взять полный набор частных производных этой $f$ по всем координатам $x_s.$
(Тут есть тонкость. Выше я сказал, что координата - это функция. Но чтобы взять частную производную по координате, надо иметь в виду не только одну эту координату, но и всю остальную систему координат, в которую данная координата входит.)

Например, разберём нашу плоскость $\mathbb{R}^2.$ На ней заданы координаты $x_1,x_2.$

(Я не одобряю предложения Slav-27 поменять обозначения, поскольку это вас запутает: пока у вас есть ваши базовые обозначения по лекциям или учебнику, и вы к ним привыкаете, лучше их придерживаться. Я только вместо черты пишу вектор, потому что черта - это всего лишь упрощённый способ написать значок вектора.)

Рассмотрим функцию $x_1.$ Понятно, как она себя ведёт: в точке $(0,0)$ она равна $0,$ а в точке $(2,5)$ она возвращает $2.$

Возьмём набор её частных производных:

$(x_1)'_{x_1}=1$
$(x_1)'_{x_2}=0$

Тут всё понятно?

И наконец, запишем

$d\,x_1=\sum\limits_{s=1}^2 (x_1)'_{x_s} h^{\vphantom{\prime}}_s=(x_1)'_{x_1} h^{\vphantom{\prime}}_1+(x_1)'_{x_2} h^{\vphantom{\prime}}_2=1\cdot h_1+0\cdot h_2=h_1.$

Мы получили функцию от аргументов $\vec{x},\vec{h},$ каждый из которых - два числа. И она возвращает 1-е число из аргумента $\vec{h}.$ Игнорируя все остальные аргументы (в данном случае; такую простую систему координат мы выбрали).

Убедитесь, что $d\,x_2=h_2.$

-- 06.06.2019 16:51:35 --

Slav-27 в сообщении #1398061 писал(а):

$df$ -- это функция, определённая на множестве $U$ и принимающая значения в множестве линейных функций из $\mathbb R^n$ в $\mathbb R$ Это можно написать и так: $df: U\to \operatorname{Lin}(\mathbb R^n,\mathbb R)$.

Может быть, стоит "по-программистски"? $df\colon U\to(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}).$ Если это поможет понять.
И ("декаррирование") это то же самое, что $df\colon U\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}.$